点集拓扑 3.6 紧性

2023-11-20 21:07:22 新建

波莱尔有限覆盖定理

设 $H$ 是闭区间 $[a, b]$ 的一个（无限）开覆盖，则必可从 $H$ 中选择有限个开区间来覆盖 $[a, b]$ 。

实数连续性定理中的 Borel 有限覆盖定理所揭示的**闭区间**的性质, 在一般拓扑学中称为紧性.
紧性在拓扑学的研究中占据核心的地位, 其思想与方法是一般拓扑学发展的重要源泉.

定义 3.6.1 覆盖

设 $X$ 是拓扑空间, $A$ 是 $X$ 的子集族.

如果 $A \in A ⋃ A = X$ , 则称 $A$ 覆盖 $X$ , 或称 $A$ 是 $X$ 的覆盖.
如果 $A$ 的每个元素是 $X$ 的开子集, 则称 $A$ 是 $X$ 的开覆盖.

设 $A$ 是 $X$ 的覆盖.

如果 $A$ 的子族 $A_{0}$ 也是 $X$ 的覆盖, 则称 $A_{0}$ 是 $A$ 的子覆盖.
如果 $A_{0}$ 的元素还是有限 (或可数) 的, 则称 $A_{0}$ 是 $A$ 的有限 (或可数) 子覆盖.

定义 3.6.2 紧空间

设 $X$ 是拓扑空间， $Y$ 是 $X$ 的子空间

如果 $X$ 的**每个**开覆盖**都有**有限子覆盖, 则称 $X$ 是紧空间.
如果 $Y$ 作为拓扑空间是紧空间, 则称 $Y$ 是 $X$ 的紧子集.
// 此时 $X$ 可以不是紧空间

如何判断不是紧空间

定义要求 “**每个**开覆盖**都有**...” ，所以**只要举一个**开覆盖没有就行了，如下例子所示

例 3.6.1 几个简单的例子

平庸空间是紧空间.
离散空间是紧空间当且仅当它是有限的空间.
实空间 $R$ 不是紧空间.
- 因为 $A = {(- n, n) : n \in Z_{+}}$ 是 $R$ 的开覆盖,
- 但 $A$ 的**任意**有限子族 $A_{0} = {(- n_{i}, n_{i}) : 1 ⩽ i ⩽ k}$ 都不能覆盖 $R$ .
- 因此, $A$ 没有有限子覆盖.
$X = {0} \cup {1/ n : n \in Z_{+}}$ 作为 $R$ 的子空间是紧的（是 $R$ 的紧子集）.
- 设 $A$ 是 $X$ 的任意开覆盖, 存在 $U_{0} \in A$ 使得 $0 \in U_{0}$ .
- 存在 $m \in Z_{+}$ , 使得当 $n > m$ 时有 $1/ n \in U_{0}$ .
- 对 $1 ⩽ i ⩽ m$ , 存在 $U_{i} \in A$ 使得 $1/ i \in U_{i}$ .
- 令 $A_{0} = {U_{0}, U_{1}, \dots, U_{m}}$ , 则 $A_{0}$ 是 $A$ 的有限子覆盖.

定理 3.6.1 【序拓扑跳过】

若 $(X, <)$ 是具有上确界性质的全序集, 则序拓扑空间 $X$ 的每个闭区间是紧的.

推论

由此, 实空间 $R$ 中的每个闭区间是紧的.

在例 3.6.1 的 (4) 中, $X = {0} \cup {1/ n$ : $n \in Z_{+}}$ 作为 $R$ 的子空间是紧的, 但实空间 $R$ 不是紧空间。所以我们想知道：紧空间的子空间是否一定是紧空间呢？这就是紧空间的遗传性问题

例子紧空间的子空间不一定是紧的.

在例 3.6.1 的 (4) 中, $X = {0} \cup {1/ n$ : $n \in Z_{+}}$ 是紧的, 但它的子空间 ${1/ n : n \in Z_{+}}$ 是无限的离散空间, 所以不是紧的.

所以紧性不具有遗传性，此时我们想知道紧空间有没有哪一类子空间一定是紧空间呢？

下面研究紧子集的性质

定义子空间覆盖

设 $Y$ 是拓扑空间 $X$ 的子空间.

如果 $A$ 是 $X$ 的子集族且 $Y \subset A \in A ⋃ A$ , 则称 $A$ 覆盖 $Y$ .

拓扑空间的一个子集 $Y$ 是紧子集意味着每个由子空间 $Y$ 中的开集构成的 $Y$ 的开覆盖有一个有限子覆盖那么由 $X$ 中的开集构成的每个 $Y$ 中的开覆盖是否有有限子覆盖？

引理 3.6.1

如果 $Y$ 是拓扑空间 $X$ 的子空间,

则 $Y$ 是紧的当且仅当由 $X$ 中开集组成的 $Y$ 的每个覆盖都有有限子覆盖.

证明的关键是区分 $Y$ 的地位：是视为全空间；还是视为 $X$ 的子空间

$Y$ 是紧的： $Y$ 是全空间
$X$ 中开集组成的 $Y$ 的每个覆盖： $X$ 是全空间， $Y$ 是 $X$ 的子空间；这个覆盖是子空间覆盖
...都有有限子覆盖： $X$ 是全空间， $Y$ 是 $X$ 的子空间

证明

设 $Y$ 是紧的且 $A$ 是由 $X$ 中开集组成的 $Y$ 的覆盖,
- 那么 $A^{'} = {Y \cap A$ : $A \in A}$ 是子空间 $Y$ 的开覆盖.
  // 这个开覆盖是把 $Y$ 视为全空间，所以下面就能利用紧空间的定义
- 由 $Y$ 是紧的, 得 $A^{'}$ 有有限子覆盖 ${Y \cap A_{i}}_{i ⩽ m}$ .
  // 这个有限子覆盖是把 $Y$ 视为全空间
- 于是, $A$ 的有限子族 ${A_{i}}_{i ⩽ m}$ 覆盖 $Y$ .
  // 这个有限子覆盖是把 $X$ 视为全空间
设 $A$ 是子空间 $Y$ 的开覆盖.
// 这个开覆盖是把 $Y$ 视为全空间，下面要证 $Y$ 是紧的，只要证明这个开覆盖有有限子覆盖
- 对每个 $A \in A$ , 存在 $X$ 中的开集 $U_{A}$ 使得 $A = Y \cap U_{A}$ .
  // 这步由子空间的定义可得
- 因此, $U = {U_{A} : A \in A}$ 是由 $X$ 中开集组成的 $Y$ 的覆盖.
  // 这个覆盖是把 $X$ 视为全空间
- 根据假设, $U$ 的某有限子族 ${U_{A_{i}}}_{i ⩽ n}$ 覆盖 $Y$ .
  // 这个子覆盖是把 $X$ 视为全空间
- 于是, $A$ 的有限子族 ${A_{i}}_{i ⩽ n}$ 覆盖 $Y$ .
  // 这个子覆盖是把 $Y$ 视为全空间
- 故 $Y$ 是紧的.

随笔

有了这个引理，谁是全空间已经不那么重要了，相当于子空间覆盖和全空间覆盖画了等号

定理 3.6.2

紧空间的每个闭子集是紧的.

证明

设 $Y$ 是紧空间 $X$ 的闭子集.
- 若 $A$ 是由 $X$ 中开集组成的 $Y$ 的覆盖,
  // 构造使用引理 3.6.1 的条件
- 则 $A \cup {X - Y}$ 是 $X$ 的开覆盖.
  // $Y$ 是 $X$ 的闭子集，所以 $X - Y$ 是开集
- 由 $X$ 的紧性, 它存在有限子覆盖, 记为 ${A_{i} \in A : 1 ⩽ i ⩽ m} \cup {X - Y}$ .
- 因此, $Y \subset i ⩽ m ⋃ A_{i}$ . 于是, $A$ 有有限子族覆盖 $Y$ .
- 根据引理 3.6.1, $Y$ 是紧的.

通过前面的学习,我们知道紧空间的子空间不一定是紧的。但是紧空间中的每个闭子集都是紧子集，那么紧空间的紧子集是否一定是闭子集？

例子紧子集不一定是闭的.

让 $X$ 是无限集, 赋予有限补拓扑, 则 $X$ 是 $T_{1}$ 的紧空间 (见习题 3.6.1). 显然, $X$ 的每个子空间也是有限补空间 (见习题 2.4.5), 所以也是紧空间, 但是 $X$ 的真闭子集都是有限集. 从而 $X$ 的紧子集不一定是闭的.

即满足 $T_{1}$ 分离性公理的紧空间中的紧子集不一定是闭集，那么什么条件下紧子集是闭子集？

我们自然去考虑满足 $T_{2}$ 分离性公理的空间中的紧子集是否是闭集。

引理 3.6.2

如果 $A, B$ 是 Hausdorff 空间 $X$ 中不相交的紧子集,

则存在 $X$ 的开集 $U, V$ 使得 $A \subset U, B \subset V$ 且 $U \cap V = \emptyset$ .

证明

取定 $x \in A$ . 对任意的 $y \in B$ , 则 $x \neq = y$ .
- 由于 $X$ 是 Hausdorff 空间, 存在 $X$ 中不相交的开集 $U_{y}$ 及 $V_{y}$ 使得 $x \in U_{y}$ 和 $y \in V_{y}$ .
- 令 $V = {V_{y} : y \in B}$ , 则 $V$ 是 $X$ 中的开集族且覆盖 $B$ .
- 由引理 3.6.1, 存在 $V$ 的有限子族 ${V_{y_{i}}}_{i ⩽ m}$ 覆盖 $B$ .
- 令 $U_{x} = i ⩽ m ⋂ U_{y_{i}}, V_{x} = i ⩽ m ⋃ V_{y_{i}}$ ,
- 则 $U_{x}$ 和 $V_{x}$ 是 $X$ 中分别包含 $x$ 与 $B$ 的不相交开集.
现在, 对每个 $x \in A$ ,
- 由上段所证, 存在 $X$ 中不相交的开集 $U_{x}, V_{x}$ 使得 $x \in$ $U_{x}, B \subset V_{x}$ .
- 令 $U = {U_{x} : x \in A}$ , 则 $U$ 是 $X$ 中开集组成的 $A$ 的覆盖.
- 由 $A$ 的紧性, $U$ 的某有限子族 ${U_{x_{j}}}_{j ⩽ n}$ 覆盖 $A$ .
- 令 $U = j ⩽ n ⋃ U_{x_{j}}, V = j ⩽ n ⋂ V_{x_{j}}$ ,
- 则 $U$ 和 $V$ 是 $X$ 的不相交开集, 分别包含 $A$ 和 $B$ .
  // 这里的不相交，关键在于一个取并一个取交，任意 $U_{x_{j}}$ 与 $V$ 不相交，否则必与 $V_{x_{j}}$ 相交，矛盾。

定理 3.6.3

Hausdorff 空间的每个紧子集是闭的.

证明

先设 $Y$ 是 Hausdorff 空间 $X$ 的紧子集.要证 $Y$ 是闭的，即证 $X - Y$ 是开的。
- 对每个 $x \in X - Y$ ，由定义易知单点集 ${x}$ 是紧的。
- 由引理 3.6.2，存在 $X$ 中不相交的开集 $U, V$ 分别包含 $x$ 和 $Y$ .
  // 这里画个图
- 于是， $x \in U \subset X - Y$ .
- // 即对任意的 $x \in X - Y$ 都存在开集 $U$ 使得 $x \in U \subset X - Y$
- // 即 $X - Y$ 是它的每一点的领域。
- 由定理 2.1.1, $X - Y$ 是开集, 从而 $Y$ 是闭集.

// 定理 2.1.1：拓扑空间 $X$ 的子集 $U$ 是开集当且仅当 $U$ 是它的每一点的邻域.
// 邻域定义：设 $(X, τ)$ 是拓扑空间, $x \in X, U \subset X$ . 如果存在开集 $V \in τ$ 使得 $x \in V \subset U$ , 则称 $U$ 是 $x$ 的邻域.

所以我们可以得到下面这个简单的结论
紧空间：闭子集 $\Rightarrow$ 紧子集
Hausdorff 空间：闭子集 $\Leftarrow$ 紧子集

引理 3.6.2 中 Hausdorff 空间中不相交的紧子集都能被空间中两个不相交的开集分离，这个做法和正规空间类似，所以我们想知道：紧的 Hausdorff 空间和正规空间有什么关系。

定理 3.6.4

紧的 Hausdorff 空间是正规的.

证明

先设 $X$ 是紧的 Hausdorff 空间，要证 $X$ 是正规的。
- 由正规的定义，再设 $A$ ， $B$ 是 $X$ 的任意两个不相交的闭集
- 所以 $A$ ， $B$ 是紧空间 $X$ 的闭子集
- 所以由定理 3.6.2 得， $A$ ， $B$ 是紧子集
- 所以 $A$ ， $B$ 是 Hausdorff 空间 $X$ 的不相交的紧子集
- 所以存在 $X$ 的开集 $U, V$ 使得 $A \subset U, B \subset V$ 且 $U \cap V = \emptyset$ .
- 所以由正规的定义知， $X$ 是正规的。

// 正规：空间中任意两个不相交的闭集都能被空间中两个不相交的开集分离.
// 定理 3.6.2：紧空间的每个闭子集是紧的.
// 引理 3.6.2：Hausdorff 空间中不相交的紧子集都能被空间中两个不相交的开集分离.

下面讨论紧空间的映射性质.

定理 3.6.5 关于紧空间的映射定理

紧空间的连续像是紧的, 即连续映射保持紧性.

证明

先设 $X$ 是紧空间且 $f : X \to Y$ 是连续映射，要证连续像 $f (X)$ 是紧的
- 再设 $A$ 是由 $Y$ 中的开集组成的 $f (X)$ 的覆盖，即 $f (X) \subset A \in A ⋃ A$
- 所以 $X \subset f^{- 1} (f (X)) \subset f^{- 1} (A \in A ⋃ A) = A \in A ⋃ f^{- 1} (A)$
- 又因为 $f$ 连续，所以对任意的 $A \in A$ ， $f^{- 1} (A)$ 是开的。
- 所以 ${f^{- 1} (A) : A \in A}$ 是 $X$ 的开覆盖.
- 由 $X$ 的紧性，它的某有限子族 ${f^{- 1} (A_{i})}_{i ⩽ m}$ 覆盖 $X$ .
- 所以 $X \subset i ⩽ m ⋃ f^{- 1} (A_{i}) = f^{- 1} (i ⩽ m ⋃ A_{i})$ ，所以 $f (X) \subset i ⩽ m ⋃ A_{i}$
- 从而, $A$ 的有限子族 ${A_{i}}_{i ⩽ m}$ 覆盖 $f (X)$ ，所以 $f (X)$ 是紧的。

证明【上面的证法应该是对的，老师说直接假设满射更简单】

先设 $X$ 是紧空间且 $f : X \to Y$ 是连续满映射，要证连续像 $Y = f (X)$ 是紧的
- 再设 $A$ 是 $f (X)$ 的开覆盖，即 $f (X) = A \in A ⋃ A$
- 所以 $X = f^{- 1} (f (X)) = f^{- 1} (A \in A ⋃ A) = A \in A ⋃ f^{- 1} (A)$
- 又因为 $f$ 连续，所以对任意的 $A \in A$ ， $f^{- 1} (A)$ 是开的。
- 所以 ${f^{- 1} (A) : A \in A}$ 是 $X$ 的开覆盖.
- 由 $X$ 的紧性，它的某有限子族 ${f^{- 1} (A_{i})}_{i ⩽ m}$ 覆盖 $X$ .
- 所以 $X = i ⩽ m ⋃ f^{- 1} (A_{i}) = f^{- 1} (i ⩽ m ⋃ A_{i})$ ，所以 $f (X) = i ⩽ m ⋃ A_{i}$
- 从而, $A$ 的有限子族 ${A_{i}}_{i ⩽ m}$ 覆盖 $f (X)$ ，所以 $f (X)$ 是紧的。

由此, 紧性是拓扑性质.

// 书P20 拓扑性质=同胚不变性质，因为同胚映射一定是连续的，所以在连续映射下保持不变的性质一定是拓扑不变性；连续的双射不一定是同胚。

定理 3.6.6 最值定理

设函数 $f : X \to Y$ 连续, $Y$ 是序拓扑空间. 如果 $X$ 是紧空间, 则 $X$ 中存在点 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ , 使得对任意 $x \in X$ , 有 $f (x_{0}) ⩽ f (x) ⩽ f (x_{1})$ .

证明

// 序拓扑空间改成实空间也是一样的证明

设 $A = f (X)$ 要证 $A$ 有最值
由定理 3.6.5， $A$ 是 $Y$ 的紧子集
再设 $A = {(- \infty, a) ∣ a \in A}$
因为 $A$ 没有最大元，
所以对 $\forall a^{'} \in A$ ， $\exists a \in A$ s.t. $a > a^{'}$ ，
即 $\exists (- \infty, a) = A^{'} \in A$ s.t. $a^{'} \in (- \infty, a) = A^{'}$
所以 $A \subset A^{'} \in A ⋃ A^{'}$ ，所以 $A$ 是 $A$ 的开覆盖（ $Y$ 是全集）
由 $A$ 是紧的，所以有有限子覆盖 ${(- \infty, a_{i})}_{i ⩽ m}$ ，其中 $a_{i} \in A$
- $a_{i} \in A$ 由开覆盖 $A$ 的定义 $A = {(- \infty, a) ∣ a \in A}$ 可得
设 $a_{j} = i ⩽ m max {a_{i}}$ , 则 $a_{j} \in A$ .
- 有限个数 $a_{i}$ 取最大，那这最大值 $a_{j}$ 肯定还在 ${a_{i}}_{i ⩽ m}$ 中
- 我们又知道 $a_{i} \in A$ ， $i ⩽ m$ ，所以 $a_{j} \in A$ .
但 $a_{j} \in / (- \infty, a_{i}), i ⩽ m$ .
- 我们知道 $a_{j}$ 是最大的，所以 $i ⩽ m ⋃ (- \infty, a_{i}) = (- \infty, a_{j})$
- 区间右边是开的，所以取不到，不属于
这与 ${(- \infty, a_{i})}_{i ⩽ m}$ 覆盖 $A$ 矛盾.
故 $A$ 有最大元. 同理, $A$ 有最小元.
设 $a$ 和 $b$ 分别是 $A$ 的最小元和最大元,
则存在 $x_{0}, x_{1} \in X$ , 使得 $f (x_{0}) = a$ 和 $f (x_{1}) = b$ .
因此, 对任意的 $x \in X$ , 有 $f (x_{0}) ⩽ f (x) ⩽ f (x_{1})$ .

受上面启发，我们想知道紧空间到 Hausdorff 空间的连续映射有什么性质。

定理 3.6.7

紧空间到 Hausdorff 空间的连续映射是闭映射.

证明

先设 $f : X \to Y$ 是连续映射, 其中 $X$ 是紧空间, $Y$ 是 Hausdorff 空间，要证 $f$ 是闭映射
- 再设 $F$ 是 $X$ 的任意一个闭集，即证 $f (F)$ 是 $Y$ 的闭集。
- 根据定理 3.6.2, 则 $F$ 是 $X$ 的紧集.
- 由于 $f ∣_{F} : F \to Y$ 连续, 根据定理 3.6.5, $f (F)$ 是 $Y$ 的紧集.
- 因为 $Y$ 是 Hausdorff 空间, 根据定理 3.6.3, $f (F)$ 在 $Y$ 中是闭的,
- 所以 $f$ 是闭的.

// 定理 3.6.2：紧空间的每个闭子集是紧的.

由此可知, 例 2.4.4 中的函数 $g : I \to S^{1}$ 是闭映射.

根据同胚映射的性质（书 P41 定理2.6.3）：既单且满的开(或闭)的连续映射。

有以下推论：

推论 3.6.1

紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同胚.

下面讨论紧空间的有限可积性。

随笔

同样的，先讨论两个拓扑的积空间，我们一般就是将他们画成坐标平面的形式：
对于一般的开集，是个面，像左边这样，而 $U \supset {x_{0}} \times Y$ 就是像右边这样，里面包含一杠。

引理 3.6.3 管形引理

设 $X$ 是拓扑空间, $Y$ 是紧空间, $x_{0} \in X$ . 如果积空间 $X \times Y$ 中的开集 $U \supset {x_{0}} \times Y$ , 则存在 $X$ 中包含 $x_{0}$ 的开集 $W$ , 使得 $W \times Y \subset U$ .

证明

对任意的 $y \in Y$ , 有 $(x_{0}, y) \in U$ .
- 又因为 $U$ 是 $X \times Y$ 的开集，由定理2.2.1，存在 $U_{y} \times V_{y} \in$ $X \times Y$ 的基，使得 $(x_{0}, y) \in$ $U_{y} \times V_{y} \subset U$ ，其中 $U_{y}$ 和 $V_{y}$ 分别是 $X$ 与 $Y$ 的开集。
- 集族 $V = {V_{y} : y \in Y}$ 是 $Y$ 的开覆盖.
- 由 $Y$ 的紧性, $V$ 有有限的子覆盖 ${V_{y_{i}}}_{i ⩽ m}$ .
- 令 $W = i ⩽ m ⋂ U_{y_{i}}$ , 则 $W$ 是 $X$ 中含 $x_{0}$ 的开集.
  // $Y$ 是紧空间用在这，保证 $W$ 为有限交，才能为开集
- 且 $W \times Y \subset U$ ，事实上，对任意的 $(x, y) \in$ $W \times Y$ ，因为 ${V_{y_{i}}}_{i ⩽ m}$ 覆盖 $Y$ ，所以存在 $j ⩽ m$ ，使得 $y \in V_{y_{j}}$ ，又因为 $x \in W \subset U_{y_{j}}$ ，所以 $(x, y) \in U_{y_{j}} \times V_{y_{j}} \subset U$ .

图 3.6.1

例子管形引理中, 拓扑空间 $Y$ 的紧性是重要的.

在欧氏平面 $R^{2}$ 中, 取

$U = {(x, y) \in R^{2} : ∣ x ∣ < \frac{1}{1 + y ^{2}}},$

则 $U$ 是 $R^{2}$ 中包含 ${0} \times R$ 的开集. 但不存在 $R$ 中包含 0 的开集 $W$ , 使得 $W \times R \subset U$ .

// 纵轴 $R$ 不是紧的，那就需要取极限 $W = \infty ⋂ (a, b) = {0}$ 为闭集。
// 这个例子应该严格证明，我没写

定理 3.6.8

紧空间性质是有限可积性.

证明

仅证两个紧空间的积空间是紧空间 (类似定理 3.2.6 的说明).
设 $X$ 和 $Y$ 都是紧空间, $A$ 是 $X \times Y$ 的开覆盖.
- 对每个 $x \in X$ , 由于 ${x} \times Y$ 同胚于 $Y$ , 所以 ${x} \times Y$ 是紧空间.
- 根据引理 3.6.1, 存在 $A$ 的有限子族 $A_{x}$ 覆盖 ${x} \times Y$ .
- 令 $U_{x} = A \in A_{x} ⋃ A$ , 则 $U_{x}$ 是 $X \times Y$ 中包含 ${x} \times Y$ 的开集.
- 根据管形引理,存在 $X$ 中包含 $x$ 的开集 $W_{x}$ , 使得 $W_{x} \times Y \subset U_{x}$ .
- 令 $W = {W_{x} : x \in X}$ , 则 $W$ 是 $X$ 的开覆盖.
- 由 $X$ 的紧性, 存在 $W$ 的有限子族 ${W_{x_{i}}}_{i ⩽ m}$ 覆盖 $X$ .
- 从而, $X \times Y = i ⩽ m ⋃ (W_{x_{i}} \times Y)$ .
- 令 $A^{'} = i ⩽ m ⋃ A_{x_{i}}$ , 则 $A^{'}$ 是 $A$ 的有限子族且覆盖 $X \times Y$ . 故 $X \times Y$ 是紧空间.

由定理 3.6.8 和定理 3.6.5, 例 2.6.2 中的环面、Möbius 带、Klein 瓶都是紧空间.

例 3.6.2 【跳过】利用紧性说明正规空间的子空间未必是正规空间

正规空间 $[0, ω_{1}]^{2}$ 的非正规子空间 $[0, ω_{1}) \times [0, ω_{1}]$ .

证明

由定理 3.6.1 和定理 3.6.8, $[0, ω_{1}]^{2}$ 是紧空间. 再由定理 3.6.4, $[0, ω_{1}]^{2}$ 是正规空间. 下面证明 $[0, ω_{1}]^{2}$ 的子空间 $X = [0, ω_{1}) \times [0, ω_{1}]$ 不是正规空间.
令

$Δ = {(x, x) \in [0, ω_{1}]^{2} : x \in [0, ω_{1}]} .$

由于 $[0, ω_{1}]$ 是 Hausdorff 空间, 则 $Δ$ 是 $[0, ω_{1}]^{2}$ 中的闭集 (见习题 3.4.3). 令

$A = Δ \cap X = Δ - {(ω_{1}, ω_{1})}, B = [0, ω_{1}) \times {ω_{1}},$

则 $A$ 与 $B$ 是 $X$ 中不相交的非空闭集. 要证 $X$ 不是正规空间, 只需证如果 $G$ 和 $H$ 是 $X$ 中分别包含 $A$ 和 $B$ 的开集, 则 $G \cap H \neq = \emptyset$ .

假设 $G \cap H = \emptyset$ . 对任意的 $x \in [0, ω_{1})$ ,有 $(x, ω_{1}) \in H$ , 存在 $β (x < β < ω_{1})$ , 使得 ${x} \times [β, ω_{1}] \subset H$ . 从而, $({x} \times [β, ω_{1}]) \cap G = \emptyset$ . 令

$β (x) = min {β < ω_{1} : x < β, (x, β) \in / G},$

则 $x < β (x) < ω_{1}$ 且 $(x, β (x)) \in / G$ , 见图 3.6.2.

取定 $x_{1} \in [0, ω_{1})$ , 定义 $x_{2} = β (x_{1})$ . 一般地, 定义 $x_{n + 1} = β (x_{n}), n \in Z_{+}$ , 则 ${x_{n}}$ 是 $[0, ω_{1})$ 中严格单调增加的序列. 根据推论 1.2.1, 可数集 ${x_{n} : n \in Z_{+}}$ 在 $[0, ω_{1})$ 中有上界, 因而有上确界. 记 $b = sup {x_{n} : n \in Z_{+}}$ . 由于 ${x_{n}}$ 的严格单调增加性, 所以它收敛于 $b$ . 于是, 序列 ${β (x_{n})}$ 也收敛于 $b$ . 因此, 积空间 $[0, ω_{1}) \times [0, ω_{1}]$ 中的序列 ${(x_{n}, β (x_{n}))}$ 收敛于 $(b, b)$ . 因为 $(b, b) \in A \subset G$ , 所以当 $n$ 充分大时, 有 $(x_{n}, β (x_{n})) \in G$ . 这与任意 $x \in [0, ω_{1}), (x, β (x)) \in / G$ 矛盾. 这表明 $G \cap H \neq = \emptyset$ .

图 3.6.2