1.1 集合的概念

2023-12-30 23:09:25 新建

一开始我们并不知道集合的定义是什么，我觉得这时候设置什么问题都是不合适的，而应该马上给出集合的定义，并通过例子加以理解。

在小学和初中, 我们已经接触过一些集合. 例如, 自然数的集合, 同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 (即圆) 等. 为了更有效地使用集合语言, 我们需要进一步了解集合的有关知识. 下面先从集合的含义开始.

看下面的例子：

(1) $1 \sim 10$ 之间的所有偶数;
(2) 立德中学今年入学的全体高一学生;
(3) 所有的正方形;
(4) 到直线 $l$ 的距离等于定长 $d$ 的所有点;
(5) 方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的所有实数根;
(6) 地球上的四大洋.

例（1）中, 我们把 $1 \sim 10$ 之间的每一个偶数作为元素, 这些元素的全体就是一个集合; 同样地, 例 (2) 中, 把立德中学今年人学的每一位高一学生作为元素, 这些元素的全体也是一个集合.

思考：上面的例（3）到例（6）也都能组成集合吗? 它们的元素分别是什么?

从6个实例入手，通过对比分析共同特征，从中抽象概括出元素和集合的含义（描述性概念）

定义

一般地, 我们把研究对象统称为元素 (element), 把一些元素组成的总体叫做集合 (set) (简称为集).

由于集合是一个原始的、不定义的概念，教科书通过研究集合中元素的性质、元素与集合的关系等帮助学生深入了解集合的含义。其中元素与集合的关系是后续研究集合之间的关系和集合运算的基础。

定理确定性、互异性、无序性

给定的集合, 它的元素必须是确定的. 也就是说, 给定一个集合, 那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.

例子

例如, “ $1 \sim 10$ 之间的所有偶数” 构成一个集合, $2, 4, 6, 8, 10$ 是这个集合的元素, $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ 不是它的元素; “较小的数” 不能构成集合,因为组成它的元素是不确定的.

定理

一个给定集合中的元素是互不相同的. 也就是说, 集合中的元素是不重复出现的.

定义集合相等

只要构成两个集合的元素是一样的, 我们就称这两个集合是相等的.

定义

我们通常用大写拉丁字母 $A, B, C, \dots$ 表示集合, 用小写拉丁字母 $a, b, c, \dots$ 表示集合中的元素.

定义元素与集合的关系（属于）

如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素, 就说 $a$ 属于（belong to）集合 $A$ , 记作 $a \in A$ ; 如果 $a$ 不是集合 $A$ 中的元素, 就说 $a$ 不属于集合 $A$ , 记作 $a \in / A$ .

例子

例如, 若用 $A$ 表示前面例（1）中 “ $1 \sim 10$ 之间的所有偶数” 组成的集合，则有 $4 \in A, 3 \in / A$ , 等等.

数学中一些常用的数集及其记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 $N$ ;
全体正整数组成的集合称为正整数集, 记作 $N^{*}$ 或 $N_{+}$ ;
全体整数组成的集合称为整数集, 记作 $Z$ ;
全体有理数组成的集合称为有理数集, 记作 $Q$ ;
全体实数组成的集合称为实数集, 记作 $R$ .

从上面的例子看到, 我们可以用自然语言描述一个集合. 除此之外, 还可以用什么方式表示集合呢?

列举法和描述法是集合的两种重要表示方法，既相互对立，又相辅相成。列举法可直接清晰地认识集合中元素的个性特点，在此基础上可进一步抽象概括出集合中元素的特征性质；描述法可更加凸显集合中元素的公共属性，也可通过列举其中的特殊元素从而对集合中元素的公共属性有更加具体的认识。

用自然语言、符号语言（列举法和描述法）表达所要研究的数学对象

列举法

例子

“地球上的四大洋” 组成的集合可以表示为 {太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋}; “方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的所有实数根” 组成的集合可以表示为 ${1, 2}$ .

定义

像这样把集合的所有元素一一列举出来, 并用花括号 “{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.

例 1

用列举法表示下列集合:
(1) 小于 10 的所有自然数组成的集合;
(2) 方程 $x^{2} = x$ 的所有实数根组成的集合.

解：

(1) 设小于 10 的所有自然数组成的集合为 $A$ , 那么

$A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} .$

(2) 设方程 $x^{2} = x$ 的所有实数根组成的集合为 $B$ , 那么

$B = {0, 1} .$

由于元素完全相同的两个集合相等, 而与列举的顺序无关, 因此一个集合可以有不同的列举方法. 例如, 例 1 (1) 的集合还可以写成

$A = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}$

等.

思考

（1）你能用自然语言描述集合 ${0, 3, 6, 9}$ 吗?
（2）你能用列举法表示不等式 $x - 7 < 3$ 的解集吗?

描述法

例子

不等式 $x - 7 < 3$ 的解是 $x < 10$ , 因为满足 $x < 10$ 的实数有无数个, 所以 $x - 7 < 3$ 的解集无法用列举法表示. 但是, 我们可以利用解集中元素的共同特征, 即: $x$ 是实数, 且 $x < 10$ , 把解集表示为

${x \in R ∣ x < 10} .$

例子

又如, 整数集 $Z$ 可以分为奇数集和偶数集. 对于每一个 $x \in Z$ , 如果它能表示为 $x = 2 k + 1 (k \in Z)$ 的形式, 那么它是一个奇数; 反之, 如果 $x$ 是一个奇数, 那么它能表示为 $x =$ $2 k + 1 (k \in Z)$ 的形式. 所以, $x = 2 k + 1 (k \in Z)$ 是所有奇数的一个共同特征, 于是奇数集可以表示为

${x \in Z ∣ x = 2 k + 1, k \in Z} .$

思考：你能用这样的方法表示偶数集吗?

定义描述法

一般地, 设 $A$ 是一个集合, 我们把集合 $A$ 中所有具有共同特征 $P (x)$ 的元素 $x$ 所组成的集合表示为

${x \in A ∣ P (x)},$

这种表示集合的方法称为描述法.

有时也用冒号或分号代替坚线, 写成

${x \in A : P (x)}$

或

${x \in A; P (x)} .$

例子

例如, 实数集 $R$ 中, 有限小数和无限循环小数都具有 $\frac{q}{p} (p, q \in Z, p \neq = 0)$ 的形式, 这些数组成有理数集, 我们将它表示为

$Q = {x \in R ∣ x = \frac{q}{p}, p, q \in Z, p \neq = 0} .$

其中, $x = \frac{q}{p} (p, q \in Z, p \neq = 0)$ 就是所有有理数具有的共同特征.

定理

显然, 对于任何 $y \in {x \in A ∣ P (x)}$ , 都有 $y \in A$ , 且 $P (y)$ 成立.

例 2

试分别用描述法和列举法表示下列集合:
(1) 方程 $x^{2} - 2 = 0$ 的所有实数根组成的集合 $A$ ;
(2) 由大于 10 且小于 20 的所有整数组成的集合 $B$ .

解：

(1) 设 $x \in A$ , 则 $x$ 是一个实数, 且 $x^{2} - 2 = 0$ . 因此, 用描述法表示为

$A = {x \in R ∣ x^{2} - 2 = 0} .$

方程 $x^{2} - 2 = 0$ 有两个实数根 $2, - 2$ , 因此, 用列举法表示为

$A = {2, - 2} .$

(2) 设 $x \in B$ , 则 $x$ 是一个整数, 即 $x \in Z$ , 且 $10 < x < 20$ . 因此, 用描述法表示为

$B = {x \in Z ∣ 10 < x < 20} .$

大于 10 且小于 20 的整数有 $11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19$ , 因此, 用列举法表示为

$B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} .$

定义

我们约定, 如果从上下文的关系看, $x \in R, x \in Z$ 是明确的, 那么 $x \in R, x \in Z$ 可以省略, 只写其元素 $x$ . 例如, 集合 $D = {x \in R ∣ x < 10}$ 也可表示为 $D = {x ∣ x < 10}$ ; 集合 $E = {x \in Z ∣ x = 2 k + 1, k \in Z}$ 也可表示为 $E = {x ∣ x = 2 k + 1, k \in Z}$ .

思考

举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点.

练习

练习1.

判断下列元素的全体是否组成集合, 并说明理由:
(1) $A, B$ 是平面 $α$ 内的定点, 在平面 $α$ 内与 $A, B$ 等距离的点;
(2) 高中学生中的游泳能手.

练习2.

用符号 “ $\in$ ” 或 “ $\in / ”$ 填空:

$0_N; - 3_N; 0.5_Z; 2_Z; \frac{1}{3}_Q; π_R .$

练习3.

用适当的方法表示下列集合:
(1) 由方程 $x^{2} - 9 = 0$ 的所有实数根组成的集合;
(2) 一次函数 $y = x + 3$ 与 $y = - 2 x + 6$ 图象的交点组成的集合;
(3) 不等式 $4 x - 5 < 3$ 的解集.

习题 1.1

复习巩固

用符号 “ $\in$ ” 或 “ $\in / ”$ 填空:
(1) 设 $A$ 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 $__A$ ，美国 $__A$ , 印度 $__A$ , 英国 $__A$ ;
(2) 若 $A = {x ∣ x^{2} = x}$ , 则 $- 1__A$ ;
(3) 若 $B = {x ∣ x^{2} + x - 6 = 0}$ , 则 $3__B$ ;
(4) 若 $C = {x \in N ∣ 1 ⩽ x ⩽ 10}$ , 则 $8__C$ , $9.1__C$ .

用列举法表示下列集合:
(1) 大于 1 且小于 6 的整数;
(2) $A = {x ∣ (x - 1) (x + 2) = 0}$ ;
(3) $B = {x \in Z ∣ - 3 < 2 x - 1 < 3}$ .

综合运用

把下列集合用另一种方法表示出来:
(1) ${2, 4, 6, 8, 10}$ ;
(2) 由 $1, 2, 3$ 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数;
(3) ${x \in N ∣ 3 < x < 7}$ ;
(4) 中国古代四大发明.

用适当的方法表示下列集合:
(1) 二次函数 $y = x^{2} - 4$ 的函数值组成的集合;
(2) 反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的自变量的取值组成的集合;
(3) 不等式 $3 x ⩾ 4 - 2 x$ 的解集.