6.2 平面向量的运算

2024-05-17 22:29:10 新建

我们知道, 数能进行运算, 因为有了运算而使数的威力无穷. 那么, 向量是否也能像数一样进行运算呢? 人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发, 引进了向量的运算.本节我们就来研究平面向量的运算, 探索其运算性质, 体会向量运算的作用.

下面先学习向量的加法.

6.2.1 向量的加法运算

我们知道, 位移、力是向量, 它们可以合成. 能否从位移、力的合成中得到启发, 引进向量的加法呢?

思考

如图 6.2-1, 某质点从点 $A$ 经过点 $B$ 到点 $C$ , 这个质点的位移如何表示?

答

物理知识告诉我们, 这个质点两次位移 $A B, BC$ 的结果, 与从点 $A$ 直接到点 $C$ 的位移 $A C$ 结果相同. 因此, 位移 $A C$ 可以看作位移 $A B$ 与 $BC$ 合成的. 数的加法启发我们, 从运算的角度看, $A C$ 可以看作 $A B$ 与 $BC$ 的和, 即位移的合成可以看作向量的加法.

如图 6.2-2, 已知非零向量 $a, b$ , 在平面内取任意一点 $A$ , 作 $A B = a, BC = b$ , 则向量 $A C$ 叫做 $a$ 与 $b$ 的和, 记作 $a + b$ , 即 $a + b = A B + BC = A C$ .

定义向量加法的三角形法则

求两个向量和的运算, 叫做向量的加法. 这种求向量和的方法, 称为向量加法的三角形法则. 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.

我们再来看力的合成问题.

思考

如图 6.2-3, 在光滑的平面上, 一个物体同时受到两个外力 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的作用, 你能作出这个物体所受的合力 $F$ 吗?

答

我们知道, 合力 $F$ 在以 $O A, OB$ 为邻边的平行四边形的对角线上, 并且大小等于这条对角线的长. 从运算的角度看, $F$ 可以看作 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的和, 即力的合成可以看作向量的加法.

定义向量加法的平行四边形法则

如图 6.2-4, 以同一点 $O$ 为起点的两个已知向量 $a$ , $b$ , 以 $O A, OB$ 为邻边作平行四边形 $O A CB$ , 则以 $O$ 为起点的向量 $OC$ ( $OC$ 是平行四边形 $O A CB$ 的对角线) 就是向量 $a$ 与 $b$ 的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.

思考

向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗? 为什么?

定义

对于零向量与任意向量 $a$ , 我们规定

$a + 0 = 0 + a = a .$

例 1

如图 6.2-5, 已知向量 $a, b$ , 求作向量 $a + b$ .

解

作法 1: 在平面内任取一点 $O$ (图 6.2-6 (1) ), 作 $O A = a, A B = b$ . 则 $OB = a + b$ .
作法 2 : 在平面内任取一点 $O$ (图 6.2-6 (2) ), 作 $O A = a, OB = b$ . 以 $O A, OB$ 为邻边作平行四边形 $O A CB$ , 连接 $OC$ , 则 $OC = O A + OB = a + b$ .

探究

(1) 如果向量 $a, b$ 共线, 它们的加法与数的加法有什么关系? 你能作出向量 $a + b$ 吗?
(2) 结合例 1, 探索 $∣ a + b ∣, ∣ a ∣, ∣ b ∣$ 之间的关系.

定理

一般地, 我们有

$∣ a + b ∣ ⩽ ∣ a ∣ + ∣ b ∣$

当且仅当 $a, b$ 方向相同时等号成立.

根据数的运算的学习经验, 定义了一种运算, 就要研究相应的运算律, 运算律可以有效地简化运算.

探究

数的加法满足交换律、结合律, 向量的加法是否也满足交换律和结合律呢?

定理

向量的加法满足交换律和结合律.

证明

如图 6.2-7 (1), 作 $A B = a, A D = b$ , 以 $A B, A D$ 为邻边作平行四边形 $A BC D$ , 容易发现 $BC = b, D C = a$ , 故 $A C = A B + BC = a + b$ . 又 $A C = A D + D C = b + a$ , 所以 $a + b = b + a$ .

由图 6.2-7 (2), 你能否验证

$(a + b) + c = a + (b + c)?$

综上所述, 向量的加法满足交换律和结合律.

例 2

长江两岸之间没有大桥的地方, 常常通过轮渡进行运输. 如图 6.2-8, 一艘船从长江南岸 $A$ 地出发, 垂直于对岸航行, 航行速度的大小为 $15 km / h$ , 同时江水的速度为向东 $6 km / h$ .
(1) 用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;
(2) 求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示, 精确到 $1^{\circ})$ .

解：

(1) 如图 6.2-9. $A D$ 表示船速， $A B$ 表示江水速度，以 $A D$ , $A B$ 为邻边作平行四边形 $A BC D$ , 则 $A C$ 表示船实际航行的速度.
(2) 在Rt $△ A BC$ 中, $∣ A B ∣ = 6, ∣ BC ∣ = 15$ , 于是

$∣ A C ∣ = ∣ A B ∣^{2} + ∣ BC ∣^{2} = 6^{2} + 1 5^{2} = 261 \approx 16.2.$

因为 $tan ∠ C A B = \frac{∣ BC ∣}{∣ A B ∣} = \frac{5}{2}$ , 所以利用计算工具可得 $∠ C A B \approx 6 8^{\circ}$ .

因此, 船实际航行速度的大小约为 $16.2 km / h$ , 方向与江水速度间的夹角约为 $6 8^{\circ}$ .

练习

如图, 在下列各小题中, 已知向量 $a, b$ , 分别用两种方法求作向量 $a + b$ .

当向量 $a, b$ 满足什么条件时, $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣$ (或 $∣ b ∣ - ∣ a ∣$ )?

根据图示填空:
(1) $a + b =$ ;
(2) $c + d =$ ;
(3) $a + b + d =$ ;
(4) $c + d + e =$ .

如图, 四边形 $A BC D$ 是平行四边形, 点 $P$ 在 $C D$ 上, 判断下列各式是否正确（正确的在括号内打 “ $✓$ ”, 错误的打 “ $\times$ ” ).
(1) $D A + D P = P A$ . $()$
(2) $D A + A B + BP = D P$ . $()$
(3) $A B + BC + CP = P A$ . $()$

有一条东西向的小河, 一艘小船从河南岸的渡口出发渡河. 小船航行速度的大小为 $15 km / h$ , 方向为北偏西 $3 0^{\circ}$ , 河水的速度为向东 $7.5 km / h$ , 求小船实际航行速度的大小与方向.

6.2.2 向量的减法运算

思考

在数的运算中, 减法是加法的逆运算, 其运算法则是 “减去一个数等于加上这个数的相反数”. 类比数的减法, 向量的减法与加法有什么关系? 如何定义向量的减法法则?

定义相反向量

与数 $x$ 的相反数是 $- x$ 类似, 我们规定, 与向量 $a$ 长度相等, 方向相反的向量, 叫做 $a$ 的相反向量, 记作 $- a$ . 由于方向反转两次仍回到原来的方向, 因此 $a$ 和 $- a$ 互为相反向量, 于是

$- (- a) = a .$

我们规定, 零向量的相反向量仍是零向量.

由两个向量和的定义易知

$a + (- a) = (- a) + a = 0,$

即任意向量与其相反向量的和是零向量. 这样, 如果 $a, b$ 互为相反向量, 那么

$a = - b, b = - a, a + b = 0 .$

定义向量的减法

向量 $a$ 加上 $b$ 的相反向量, 叫做 $a$ 与 $b$ 的差, 即

$a - b = a + (- b) .$

求两个向量差的运算叫做向量的减法.

定理

我们看到, 向量的减法可以转化为向量的加法来进行: 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

探究

向量减法的几何意义是什么?

如图 6.2-10, 设 $O A = a, OB = b, O D = - b$ , 连接 $A B$ ,由向量减法的定义知

$a - b = a + (- b) = O A + O D = OC .$

在四边形 $OC A B$ 中, $OB$ 与 $C A$ 平行且相等, 所以 $OC A B$ 是平行四边形. 所以

$B A = OC = a - b .$

由此, 我们得到 $a - b$ 的作图方法.

定理向量减法的几何意义

如图 6.2-11, 已知向量 $a, b$ , 在平面内任取一点 $O$ , 作 $O A = a, OB = b$ , 则 $B A = a - b$ . 即 $a - b$ 可以表示为从向量 $b$ 的终点指向向量 $a$ 的终点的向量, 这是向量减法的几何意义.

思考

(1) 在图 6.2-11 中, 如果从 $a$ 的终点到 $b$ 的终点作向量, 那么所得向量是什么?
(2) 如果改变图 6.2-11 中向量 $a$ 的方向, 使 $a // b$ , 怎样作出 $a - b$ 呢?

例 3

如图, 已知向量 $a, b, c, d$ , 求作向量 $a - b, c - d$ .

作法:

如图, 在平面内任取一点 $O$ , 作 $O A = a, OB = b, OC = c, O D = d$ . 则

$B A = a - b, D C = c - d .$

例 4

如图 6.2-13, 在平行四边形 $A BC D$ 中, $A B = a, A D = b$ , 你能用 $a, b$ 表示向量 $A C, D B$ 吗?

解:

由向量加法的平行四边形法则, 我们知道

$A C = a + b .$

同样, 由向量的减法, 知

$D B = A B - A D = a - b$

练习

如图, 在各小题中, 已知 $a, b$ , 分别求作 $a - b$ .

填空:
$A B - A D =$ ; $B A - BC =$ ; $BC - B A =$ ;
$O D - O A =$ ; $O A - OB =$ .

作图验证: $- (a + b) = - a - b$ .

6.2.3 向量的数乘运算

探究

已知非零向量 $a$ , 作出 $a + a + a$ 和 $(- a) + (- a) + (- a)$ . 它们的长度和方向分别是怎样的?

如图 6.2-14, $OC = O A + A B + BC = a + a + a$ . 类比数的乘法, 我们把 $a + a + a$ 记作 $3 a$ , 即 $OC = 3 a$ . 显然 $3 a$ 的方向与 $a$ 的方向相同, $3 a$ 的长度是 $a$ 的长度的 3 倍, 即 $∣3 a ∣ = 3∣ a ∣$ .

类似地, 由图 6.2-14 可知, $PN = PQ + QM + MN = (- a) + (- a) + (- a)$ , 我们把 $(- a) + (- a) + (- a)$ 记作 $- 3 a$ , 即 $PN = - 3 a$ . 显然 $- 3 a$ 的方向与 $a$ 的方向相反, $- 3 a$ 的长度是 $a$ 的长度的 3 倍, 即 $∣ - 3 a ∣ = 3∣ a ∣$ .

定义向量的数乘

一般地, 我们规定实数 $λ$ 与向量 $a$ 的积是一个向量, 这种运算叫做向量的数乘 (scalar multiplication of vectors), 记作 $λ a$ , 它的长度与方向规定如下:
(1) $∣ λ a ∣ = ∣ λ ∣∣ a ∣$
(2) 当 $λ > 0$ 时， $λ a$ 的方向与 $a$ 的方向相同; 当 $λ < 0$ 时, $λ a$ 的方向与 $a$ 的方向相反.

由 (1) 可知, 当 $λ = 0$ 时, $λ a = 0$ .
你对零向量、相反向量有什么新的认识?
由 (1) (2) 可知, $(- 1) a = - a$ .

思考

你对零向量、相反向量有什么新的认识?

思考

如果把非零向量 $a$ 的长度伸长到原来的 3.5 倍, 方向不变得到向量 $b$ , 向量 $b$ 该如何表示? 向量 $a, b$ 之间的关系怎样?

根据实数与向量的积的定义, 可以验证下面的运算律是成立的.

定理运算律

设 $λ, μ$ 为实数, 那么
(1) $λ (μ a) = (λ μ) a$
(2) $(λ + μ) a = λ a + μ a$
(3) $λ (a + b) = λ a + λ b$ .

特别地, 我们有

$(- λ) a = - (λ a) = λ (- a), λ (a - b) = λ a - λ b .$

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量.

对于任意向量 $a, b$ , 以及任意实数 $λ, μ_{1}, μ_{2}$ , 恒有

$λ (μ_{1} a \pm μ_{2} b) = λ μ_{1} a \pm λ μ_{2} b .$

思考

你能证明这些运算律吗?

例 5

计算:
(1) $(- 3) \times 4 a$ ;
(2) $3 (a + b) - 2 (a - b) - a$ ;
(3) $(2 a + 3 b - c) - (3 a - 2 b + c)$ .

解：

(1) 原式 $= (- 3 \times 4) a = - 12 a$ ；
(2) 原式 $= 3 a + 3 b - 2 a + 2 b - a = 5 b$ ;
(3) 原式 $= 2 a + 3 b - c - 3 a + 2 b - c = - a + 5 b - 2 c$ .

例 6

如图 6.2-15, 平行四边形 $A BC D$ 的两条对角线相交于点 $M$ ,且 $A B = a, A D = b$ , 用 $a, b$ 表示 $M A, MB, MC$ 和 $M D$ .

解：

在平行四边形 $A BC D$ 中，

$A C = A B + A D = a + b, D B = A B - A D = a - b .$

由平行四边形的两条对角线互相平分, 得

$M A = - \frac{1}{2} A C = - \frac{1}{2} (a + b) = - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b, MB = \frac{1}{2} D B = \frac{1}{2} (a - b) = \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b, MC = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b, M D = - \frac{1}{2} D B = - \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b .$

练习

任画一向量 $e$ , 分别求作向量 $a = 4 e, b = - 4 e$ .

点 $C$ 在线段 $A B$ 上, 且 $\frac{A C}{CB} = \frac{5}{2}$ , 则 $A C =$ $A B, BC =$ $A B$

把下列各小题中的向量 $b$ 表示为实数与向量 $a$ 的积:
(1) $a = 3 e, b = 6 e$ ;
(2) $a = 8 e, b = - 14 e$ ;
(3) $a = - \frac{2}{3} e, b = \frac{1}{3} e$ ;
(4) $a = - \frac{3}{4} e, b = - \frac{2}{3} e$ .

探究

引入向量数乘运算后, 你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗?

可以发现, 实数与向量的积与原向量共线.

事实上, 对于向量 $a (a \neq = 0), b$ , 如果有一个实数 $λ$ , 使 $b = λ a$ , 那么由向量数乘的定义可知 $a$ 与 $b$ 共线.

反过来, 已知向量 $a$ 与 $b$ 共线, 且向量 $b$ 的长度是向量 $a$ 的长度的 $μ$ 倍, 即 $∣ b ∣ =$ $μ ∣ a ∣$ , 那么当 $a$ 与 $b$ 同方向时, 有 $b = μ a$ ; 当 $a$ 与 $b$ 反方向时, 有 $b = - μ a$ .

综上, 我们有如下定理:

定理

向量 $a (a \neq = 0)$ 与 $b$ 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 $λ$ , 使 $b = λ a$ .

推论

根据这一定理，设非零向量 $a$ 位于直线 $l$ 上，那么对于直线 $l$ 上的任意一个向量 $b$ ,都存在唯一的一个实数 $λ$ , 使 $b = λ a$ . 也就是说, 位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.

例 7

如图 6.2-16, 已知任意两个非零向量 $a, b$ , 试作 $O A =$ $a + b, OB = a + 2 b, OC = a + 3 b$ . 猜想 $A, B, C$ 三点之间的位置关系, 并证明你的猜想.

分析:

判断三点之间的位置关系, 主要是看这三点是否共线, 为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上. 在本题中, 应用向量知识判断 $A, B, C$ 三点是否共线, 可以通过判断向量 $A C$ , $A B$ 是否共线, 即是否存在 $λ$ , 使 $A C = λ A B$ 成立.

解:

分别作向量 $O A, OB, OC$ , 过点 $A, C$ 作直线 $A C$ (图 6.2-17). 观察发现, 不论向量 $a, b$ 怎样变化, 点 $B$ 始终在直线 $A C$ 上, 猜想 $A, B, C$ 三点共线.

事实上, 因为

$A B = OB - O A = a + 2 b - (a + b) = b, A C = OC - O A = a + 3 b - (a + b) = 2 b,$

所以 $A C = 2 A B$ .
因此, $A, B, C$ 三点共线.

例 8

已知 $a, b$ 是两个不共线的向量, 向量 $b - t a, \frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 共线, 求实数 $t$ 的值.

解:

由 $a, b$ 不共线, 易知向量 $\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 为非零向量. 由向量 $b - t a, \frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 共线,可知存在实数 $λ$ , 使得

$b - t a = λ (\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b),$

即

$(t + \frac{1}{2} λ) a = (\frac{3}{2} λ + 1) b .$

由 $a, b$ 不共线, 必有 $t + \frac{1}{2} λ = \frac{3}{2} λ + 1 = 0$ . 否则, 不妨设 $t + \frac{1}{2} λ \neq = 0$ , 则 $a = \frac{\frac{3}{2} λ + 1}{t + \frac{1}{2} λ} b$ . 由两个向量共线的充要条件知, $a, b$ 共线, 与已知矛盾.

由 $⎩ ⎨ ⎧ t + \frac{1}{2} λ = 0, \frac{3}{2} λ + 1 = 0,$ 解得 $t = \frac{1}{3}$ .
因此, 当向量 $b - t a, \frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 共线时, $t = \frac{1}{3}$ .

练习

判断下列各小题中的向量 $a$ 与 $b$ 是否共线:
(1) $a = - 2 e, b = 2 e$ ;
(2) $a = e_{1} - e_{2}, b = - 2 e_{1} + 2 e_{2}$ .

化简:
(1) $5 (3 a - 2 b) + 4 (2 b - 3 a)$ ;
(2) $\frac{1}{3} (a - 2 b) - \frac{1}{4} (3 a - 2 b) - \frac{1}{2} (a - b)$ ;
(3) $(x + y) a - (x - y) a$ .

已知 $e_{1}, e_{2}$ 是两个不共线的向量, $a = e_{1} - 2 e_{2}, b = 2 e_{1} + k e_{2}$ . 若 $a$ 与 $b$ 是共线向量, 求实数 $k$ 的值.

6.2.4 向量的数量积

前面我们学习了向量的加、减运算. 类比数的运算, 出现了一个自然的问题: 向量能否相乘? 如果能, 那么向量的乘法该怎样定义？

在物理课中我们学过功的概念: 如果一个物体在力 $F$ 的作用下产生位移 $s$ (图 6.2-18), 那么力 $F$ 所做的功

$W = ∣ F ∣∣ s ∣ cos θ,$

其中 $θ$ 是 $F$ 与 $s$ 的夹角.

功是一个标量, 它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启示, 能否把 “功” 看作两个向量 “相乘” 的结果呢? 受此启发, 我们引入向量 “数量积” 的概念.

因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角, 所以我们先要定义向量的夹角概念.

定义向量的夹角

已知两个非零向量 $a, b$ (图 6.2-19), $O$ 是平面上的任意一点, 作 $O A = a, OB = b$ , 则 $∠ A OB = θ (0 ⩽ θ ⩽ π)$ 叫做向量 $a$ 与 $b$ 的夹角.

定理

显然, 当 $θ = 0$ 时, $a$ 与 $b$ 同向; 当 $θ = π$ 时, $a$ 与 $b$ 反向.
如果 $a$ 与 $b$ 的夹角是 $\frac{π}{2}$ , 我们说 $a$ 与 $b$ 垂直, 记作 $a ⊥ b$ .

定义向量的数量积

已知两个非零向量 $a$ 与 $b$ , 它们的夹角为 $θ$ , 我们把数量 $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ 叫做向量 $a$ 与 $b$ 的数量积（或内积（inner product) ), 记作 $a \cdot b$ , 即

$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ .$

$a, b$ 的夹角记作 $⟨ a, b ⟩$ .

规定: 零向量与任一向量的数量积为 0 .

对比向量的线性运算, 我们发现, 向量线性运算的结果是一个向量, 而两个向量的数量积是一个数量, 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.

例 9

已知 $∣ a ∣ = 5, ∣ b ∣ = 4, a$ 与 $b$ 的夹角 $θ = \frac{2 π}{3}$ , 求 $a \cdot b$ .

解:

$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ = 5 \times 4 \times cos \frac{2 π}{3} = 5 \times 4 \times (- \frac{1}{2}) = - 10.$

例 10

设 $∣ a ∣ = 12, ∣ b ∣ = 9, a \cdot b = - 542$ , 求 $a$ 与 $b$ 的夹角 $θ$ .

解：

由 $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ , 得

$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣} = \frac{- 54 2}{12 \times 9} = - \frac{2}{2} .$

因为 $θ \in [0, π]$ , 所以 $θ = \frac{3 π}{4}$ .

定义投影向量

如图 6.2-20 (1), 设 $a, b$ 是两个非零向量, $A B = a, C D = b$ , 我们考虑如下的变换：过 $A B$ 的起点 $A$ 和终点 $B$ , 分别作 $C D$ 所在直线的垂线, 垂足分别为 $A_{1}, B_{1}$ , 得到 $A_{1} B_{1}$ , 我们称上述变换为向量 $a$ 向向量 $b$ 投影 (project), $A_{1} B_{1}$ 叫做向量 $a$ 在向量 $b$ 上的投影向量.

如图 6.2-20 (2), 我们可以在平面内任取一点 $O$ , 作 $OM = a, ON = b$ . 过点 $M$ 作直线 $ON$ 的垂线, 垂足为 $M_{1}$ , 则 $O M_{1}$ 就是向量 $a$ 在向量 $b$ 上的投影向量.

探究

如图 6.2-20 (2), 设与 $b$ 方向相同的单位向量为 $e, a$ 与 $b$ 的夹角为 $θ$ , 那么 $O M_{1}$ 与 $e, a, θ$ 之间有怎样的关系?

答

显然, $O M_{1}$ 与 $e$ 共线, 于是

$O M_{1} = λ e .$

下面我们探究 $λ$ 与 $a, θ$ 的关系, 进而给出 $O M_{1}$ 的明确表达式. 我们分 $θ$ 为锐角、直角、钝角以及 $θ = 0, θ = π$ 等情况进行讨论.

当 $θ$ 为锐角 (图 6.2-21(1))时, $O M_{1}$ 与 $e$ 方向相同, $λ = ∣ ∣ O M_{1} ∣ ∣ = ∣ a ∣ cos θ$ , 所以

$O M_{1} = ∣ ∣ O M_{1} ∣ ∣ e = ∣ a ∣ cos θ e;$

当 $θ$ 为直角 (图 6.2-21(2)) 时, $λ = 0$ , 所以

$O M_{1} = 0 = ∣ a ∣ cos \frac{π}{2} e;$

当 $θ$ 为钝角 (图 6.2-21(3)) 时, $O M_{1}$ 与 $e$ 方向相反, 所以

$λ = - ∣ ∣ O M_{1} ∣ ∣ = - ∣ a ∣ cos ∠ MO M_{1} = - ∣ a ∣ cos (π - θ) = ∣ a ∣ cos θ,$

即

$O M_{1} = ∣ a ∣ cos θ e .$

当 $θ = 0$ 时, $λ = ∣ a ∣$ , 所以

$O M_{1} = ∣ a ∣ e = ∣ a ∣ cos 0 e;$

当 $θ = π$ 时, $λ = - ∣ a ∣$ , 所以

$O M_{1} = - ∣ a ∣ e = ∣ a ∣ cos π e .$

从上面的讨论可知, 对于任意的 $θ \in [0, π]$ , 都有

$O M_{1} = ∣ a ∣ cos θ e .$

探究

从上面的探究我们看到, 两个非零向量 $a$ 与 $b$ 相互平行或垂直时, 向量 $a$ 在向量 $b$ 上的投影向量具有特殊性. 这时, 它们的数量积又有怎样的特殊性?

由向量数量积的定义, 可以得到向量数量积的如下重要性质.

定理

设 $a, b$ 是非零向量, 它们的夹角是 $θ, e$ 是与 $b$ 方向相同的单位向量, 则
(1) $a \cdot e = e \cdot a = ∣ a ∣ cos θ$ .
(2) $a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0$ .
(3) 当 $a$ 与 $b$ 同向时, $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣$ ; 当 $a$ 与 $b$ 反向时, $a \cdot b = - ∣ a ∣∣ b ∣$ . 特别地, $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ 或 $∣ a ∣ = a \cdot a$ .
此外, 由 $∣ cos θ ∣ ⩽ 1$ 还可以得到
(4) $∣ a \cdot b ∣ ⩽ ∣ a ∣∣ b ∣$ .

思考

如果 $a \cdot b = 0$ , 是否有 $a = 0$ , 或 $b = 0$ ?

定义

$a \cdot a$ 常常记作 $a^{2}$ .

练习

已知 $∣ p ∣ = 8, ∣ q ∣ = 6, p$ 和 $q$ 的夹角是 $6 0^{\circ}$ , 求 $p \cdot q$ .

已知 $△ A BC$ 中, $A B = a, A C = b$ , 当 $a \cdot b < 0$ 或 $a \cdot b = 0$ 时, 试判断 $△ A BC$ 的形状.

已知 $∣ a ∣ = 6, e$ 为单位向量, 当向量 $a, e$ 的夹角 $θ$ 分别等于 $4 5^{\circ}, 9 0^{\circ}, 13 5^{\circ}$ 时, 求向量 $a$ 在向量 $e$ 上的投影向量.

与向量的线性运算一样, 定义了向量的数量积后, 就要研究数量积运算是否满足一些运算律.

探究

类比数的乘法运算律, 结合向量的线性运算的运算律, 你能得到数量积运算的哪些运算律? 你能证明吗?

由向量数量积的定义, 可以发现下列运算律成立:

定理

对于向量 $a, b, c$ 和实数 $λ$ , 有
(1) $a \cdot b = b \cdot a$ ;
(2) $(λ a) \cdot b = λ (a \cdot b) = a \cdot (λ b)$ ;
(3) $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ .

证明:

下面我们利用向量投影证明分配律 (3).

如图 6.2-22, 任取一点 $O$ , 作 $O A = a, OB =$ $b, OC = c, O D = a + b$ .

设向量 $a, b, a + b$ 与 $c$ 的夹角分别为 $θ_{1}, θ_{2}, θ$ , 它们在向量 $c$ 上的投影向量分别为 $O A_{1}, O B_{1}, O D_{1}$ , 与 $c$ 方向相同的单位向量为 $e$ , 则

$O A_{1} = ∣ a ∣ cos θ_{1} e, O B_{1} = ∣ b ∣ cos θ_{2} e, O D_{1} = ∣ a + b ∣ cos θ e .$

因为 $a = B D$ , 所以 $O A_{1} = B_{1} D_{1}$ . 于是

$O D_{1} = O B_{1} + B_{1} D_{1} = O B_{1} + O A_{1},$

即

$∣ a + b ∣ cos θ e = ∣ a ∣ cos θ_{1} e + ∣ b ∣ cos θ_{2} e .$

整理, 得

$(∣ a + b ∣ cos θ - ∣ a ∣ cos θ_{1} - ∣ b ∣ cos θ_{2}) e = 0,$

所以

$∣ a + b ∣ cos θ - ∣ a ∣ cos θ_{1} - ∣ b ∣ cos θ_{2} = 0,$

即

$∣ a + b ∣ cos θ = ∣ a ∣ cos θ_{1} + ∣ b ∣ cos θ_{2} .$

所以

$∣ a + b ∣∣ c ∣ cos θ = ∣ a ∣∣ c ∣ cos θ_{1} + ∣ b ∣∣ c ∣ cos θ_{2} .$

因此

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c .$

思考

设 $a, b, c$ 是向量, $(a \cdot b) c = a (b \cdot c)$ 一定成立吗? 为什么?

例 11

我们知道, 对任意 $a, b \in R$ , 恒有

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} .$

对任意向量 $a, b$ , 是否也有下面类似的结论?
(1) $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$ ;
(2) $(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

解：

(1)

$(a + b)^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2};$

(2)

$(a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = a^{2} - b^{2}$

因此, 上述结论是成立的.

例 12

已知 $∣ a ∣ = 6, ∣ b ∣ = 4, a$ 与 $b$ 的夹角为 $6 0^{\circ}$ , 求 $(a + 2 b) \cdot (a - 3 b)$ .

解:

$(a + 2 b) \cdot (a - 3 b) = a \cdot a - 3 a \cdot b + 2 b \cdot a - 6 b \cdot b = ∣ a ∣^{2} - a \cdot b - 6∣ b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} - ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ - 6∣ b ∣^{2} = 6^{2} - 6 \times 4 \times cos 6 0^{\circ} - 6 \times 4^{2} = - 72.$

例 13

已知 $∣ a ∣ = 3, ∣ b ∣ = 4$ , 且 $a$ 与 $b$ 不共线. 当 $k$ 为何值时, 向量 $a + k b$ 与 $a - k b$ 互相垂直?

解:

$a + k b$ 与 $a - k b$ 互相垂直的充要条件是

$(a + k b) \cdot (a - k b) = 0,$

即

$a^{2} - k^{2} b^{2} = 0.$

因为 $a^{2} = 3^{2} = 9, b^{2} = 4^{2} = 16$ ,
所以 $9 - 16 k^{2} = 0$ .
解得 $k = \pm \frac{3}{4}$ .
也就是说, 当 $k = \pm \frac{3}{4}$ 时, $a + k b$ 与 $a - k b$ 互相垂直.

练习

已知 $∣ a ∣ = 1, ∣ b ∣ = 2, ∣ c ∣ = 3$ , 向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ , 向量 $b$ 与 $c$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ , 计算:
(1) $(a \cdot b) c$ ;
(2) $a (b \cdot c)$ .

已知 $∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 1$ , 且 $a - b$ 与 $a + 2 b$ 互相垂直, 求证 $a ⊥ b$ .

求证: $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 a \cdot b$ .

习题 6.2

复习巩固

如果 $a$ 表示 “向东走 $10 km, b$ 表示 “向西走 $5 km$ ”, $c$ 表示 “向北走 $10 km ”, d$ 表示“向南走 $5 km ”$ , 那么下列向量具有什么意义?
(1) $a + a$ ;
(2) $a + b$ ;
(3) $a + c$ ;
(4) $b + d$ ;
(5) $b + c + b$ ;
(6) $d + a + d$ .

一架飞机向北飞行 $300 km$ , 然后改变方向向西飞行 $400 km$ , 求飞机飞行的路程及两次位移的合成.

一艘船垂直于对岸航行, 航行速度的大小为 $16 km / h$ , 同时河水流速的大小为 $4 km / h$ . 求船实际航行的速度的大小与方向 (精确到 $1^{\circ}$ ).

化简:
(1) $A B + BC + C A$ ;
(2) $(A B + MB) + BO + OM$ ;
(3) $O A + OC + BO + CO$ ;
(4) $A B - A C + B D - C D$ ;
(5) $O A - O D + A D$
(6) $A B - A D - D C$ ;
(7) $NQ + QP + MN - MP$ .

作图验证:
(1) $\frac{1}{2} (a + b) + \frac{1}{2} (a - b) = a$ ;
(2) $\frac{1}{2} (a + b) - \frac{1}{2} (a - b) = b$ .

(1) 已知向量 $a, b$ , 求作向量 $c$ , 使 $a + b + c = 0$ .
(2) (1) 中表示 $a, b, c$ 的有向线段能构成三角形吗?

已知 $a, b$ 为两个非零向量,
(1) 求作向量 $a + b, a - b$ ;
(2) 当向量 $a, b$ 成什么位置关系时, 满足 $∣ a + b ∣ = ∣ a - b ∣$ ? (不要求证明)

化简 :
(1) $5 (2 a - 2 b) + 4 (2 b - 3 a)$ ;
(2) $6 (a - 3 b + c) - 4 (- a + b - c)$ ;
(3) $\frac{1}{2} [(3 a - 2 b) + 5 a - \frac{1}{3} (6 a - 9 b)]$ ;
(4) $(x - y) (a + b) - (x - y) (a - b)$ .

如图, $A M = \frac{1}{3} A B, A N = \frac{1}{3} A C$ . 求证 $MN = \frac{1}{3} BC$ .

10.

填空:
(1) 若 $a, b$ 满足 $∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 3$ , 则 $∣ a + b ∣$ 的最大值为 , 最小值为 ;
(2) 当不共线的向量 $a, b$ 满足时, $a + b$ 平分 $a$ 与 $b$ 的夹角.

11.

(1) 已知 $∣ a ∣ = 3, ∣ b ∣ = 4$ , 且 $a$ 与 $b$ 的夹角 $θ = 15 0^{\circ}$ , 求 $a \cdot b, (a + b)^{2}, ∣ a + b ∣$ ;
(2) 已知 $∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 5$ , 且 $a \cdot b = - 3$ , 求 $∣ a + b ∣, ∣ a - b ∣$ .

12.

求证:

$(λ a) \cdot b = λ (a \cdot b) = a \cdot (λ b) .$

综合运用

13.

根据下列各小题中的条件, 分别判断四边形 $A BC D$ 的形状, 并给出证明:
(1) $A D = BC$ ;
(2) $A D = \frac{1}{3} BC$ ;
(3) $A B = D C$ , 且 $∣ A B ∣ = ∣ A D ∣$ .

14.

在 $△ A BC$ 中, $A D = \frac{1}{4} A B, D E // BC$ , 且与边 $A C$ 相交于点 $E$ , $△ A BC$ 的中线 $A M$ 与 $D E$ 相交于点 $N$ . 设 $A B = a, A C = b$ , 用 $a, b$ 分别表示向量 $A E, BC, D E, D B, EC, D N, A N$ .

15.

如图, 在任意四边形 $A BC D$ 中, $E, F$ 分别为 $A D, BC$ 的中点, 求证: $A B + D C = 2 EF$ .

16.

飞机从甲地沿北偏西 $1 5^{\circ}$ 的方向飞行 $1400 km$ 到达乙地, 再从乙地沿南偏东 $7 5^{\circ}$ 的方向飞行 $1400 km$ 到达丙地. 画出飞机飞行的位移示意图, 并说明丙地在甲地的什么方向? 丙地距甲地多远?

17.

(1) 如图 (1), 在 $△ A BC$ 中, 计算 $A B + BC + C A$ ;
(2) 如图 (2), 在四边形 $A BC D$ 中, 计算 $A B + BC + C D + D A$ ;
(3) 如图 (3), 在 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ 中, $A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + A_{3} A_{4} + \dots + A_{n - 1} A_{n} + A_{n} A_{1} =$ ? 证明你的结论.

18.

已知 $∣ a ∣ = 4, ∣ b ∣ = 3$ , 且 $(2 a - 3 b) \cdot (2 a + b) = 61$ , 求 $a$ 与 $b$ 的夹角 $θ$ .

19.

已知 $∣ a ∣ = 8, ∣ b ∣ = 10$ , 且 $∣ a + b ∣ = 16$ , 求 $a$ 与 $b$ 的夹角 $θ$ (精确到 $1^{\circ}$ ). (可用计算工具)

20.

已知 $a$ 是非零向量, $b \neq = c$ , 求证:

$a \cdot b = a \cdot c \Leftrightarrow a ⊥ (b - c) .$

拓广探索

21.

已知 $△ A BC$ 的外接圆圆心为 $O$ , 且 $2 A O = A B + A C, ∣ O A ∣ = ∣ A B ∣$ , 则向量 $B A$ 在向量 $BC$ 上的投影向量为 $()$ .
(A) $\frac{1}{4} BC$
(B) $\frac{3}{4} BC$
(C) $- \frac{1}{4} BC$
(D) $- \frac{3}{4} BC$

22.

如图, $O$ 是平行四边形 $A BC D$ 外一点, 用 $O A, OB, OC$ 表示 $O D$ .

23.

已知 $O$ 为四边形 $A BC D$ 所在平面内一点, 且向量 $O A, OB, OC, O D$ 满足等式 $O A + OC =$ $OB + O D$
(1) 作出满足条件的四边形 $A BC D$ .
(2) 四边形 $A BC D$ 有什么特点? 请证明你的猜想.

24.

如图, 在 $⊙ C$ 中, 是不是只需知道 $⊙ C$ 的半径或弦 $A B$ 的长度, 就可以求出 $A B \cdot A C$ 的值?