7.2 复数的四则运算

2024-06-16 22:26:56 新建

在上一节, 我们把实数集扩充到了复数集. 引入新数集后, 就要研究其中的数之间的运算. 下面就来讨论复数集中的运算问题.

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

我们规定, 复数的加法法则如下:

设 $z_{1} = a + b i, z_{2} = c + d i (a, b, c, d \in R)$ 是任意两个复数, 那么它们的和

$(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i .$

很明显, 两个复数的和仍然是一个确定的复数. 特别地, 当 $z_{1}, z_{2}$ 都是实数时, 把它们看作复数时的和就是这两个实数的和.

可以看出, 两个复数相加, 类似于两个多项式相加.

思考

复数的加法满足交换律、结合律吗?

定理

容易得到, 对任意 $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ , 有

$z_{1} + z_{2} (z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{2} + z_{1} = z_{1} + (z_{2} + z_{3}) .$

探究

我们知道, 复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应. 而我们讨论过向量加法的几何意义, 你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗?

定理复数加法的几何意义

设 $O Z_{1}, O Z_{2}$ 分别与复数 $a + b i, c + d i$ 对应, 则 $O Z_{1} = (a, b), O Z_{2} = (c, d)$ . 由平面向量的坐标运算法则, 得

$O Z_{1} + O Z_{2} = (a + c, b + d) .$

这说明两个向量 $O Z_{1}$ 与 $O Z_{2}$ 的和就是与复数 $(a + c) + (b + d) i$ 对应的向量. 因此, 复数的加法可以按照向量的加法来进行 (图 7.2-1), 这就是复数加法的几何意义.

思考

我们知道, 实数的减法是加法的逆运算. 类比实数减法的意义, 你认为该如何定义复数的减法?

定理复数的减法法则

我们规定, 复数的减法是加法的逆运算, 即把满足

$(c + d i) + (x + y i) = a + b i$

的复数 $x + y i (x, y \in R)$ 叫做复数 $a + b i (a, b \in R)$ 减去复数 $c + d i (c, d \in R)$ 的差, 记作

$(a + b i) - (c + d i) .$

根据复数相等的含义,

$c + x = a, d + y = b,$

因此

$x = a - c, y = b - d,$

所以

$x + y i = (a - c) + (b - d) i,$

即

$(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i .$

这就是复数的减法法则. 由此可见, 两个复数的差是一个确定的复数. 可以看出, 两个复数相减, 类似于两个多项式相减.

探究

类比复数加法的几何意义, 你能得出复数减法的几何意义吗?

例 1

计算 $(5 - 6 i) + (- 2 - i) - (3 + 4 i)$ .

解:

$= = (5 - 6 i) + (- 2 - i) - (3 + 4 i) (5 - 2 - 3) + (- 6 - 1 - 4) i - 11 i .$

例 2

根据复数及其运算的几何意义, 求复平面内的两点 $Z_{1} (x_{1}, y_{1}), Z_{2} (x_{2}, y_{2})$ 之间的距离.

分析:

由于复平面内的点 $Z_{1} (x_{1}, y_{1}), Z_{2} (x_{2}, y_{2})$ 对应的复数分别为 $z_{1} = x_{1} +$ $y_{1} i, z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ , 由复数减法的几何意义知, 复数 $z_{2} - z_{1}$ 对应的向量为 $Z_{1} Z_{2}$ , 从而点 $Z_{1}, Z_{2}$ 之间的距离为 $∣ ∣ Z_{1} Z_{2} ∣ ∣ = ∣ z_{2} - z_{1} ∣$ .

解:

因为复平面内的点 $Z_{1} (x_{1}, y_{1}), Z_{2} (x_{2}, y_{2})$ 对应的复数分别为 $z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ , $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ , 所以点 $Z_{1}, Z_{2}$ 之间的距离为

$∣ Z_{1} Z_{2} ∣ = ∣ ∣ Z_{1} Z_{2} ∣ ∣ = ∣ z_{2} - z_{1} ∣ = ∣ (x_{2} + y_{2} i) - (x_{1} + y_{1} i) ∣ = ∣ (x_{2} - x_{1}) + (y_{2} - y_{1}) i ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} .$

练习

计算:
(1) $(2 + 4 i) + (3 - 4 i)$ ;
(2) $5 - (3 + 2 i)$ ;
(3) $(- 3 - 4 i) + (2 + i) - (1 - 5 i)$ ;
(4) $(2 - i) - (2 + 3 i) + 4 i$ .

如图, 向量 $OZ$ 对应的复数是 $z$ , 分别作出下列运算的结果对应的向量:
(1) $z + 1$ ;
(2) $z - i$ ;
(3) $z + (- 2 + i)$ .

证明复数的加法满足交换律、结合律.

求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离:
(1) $z_{1} = 2 + i, z_{2} = 3 - i$ ;
(2) $z_{3} = 8 + 5 i, z_{4} = 4 + 2 i$ .

7.2.2 复数的乘、除运算

定义

我们规定, 复数的乘法法则如下:
设 $z_{1} = a + b i, z_{2} = c + d i (a, b, c, d \in R)$ 是任意两个复数, 那么它们的积

$(a + b i) (c + d i) = a c + b c i + a d i + b d i^{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i .$

很明显, 两个复数的积是一个确定的复数. 特别地, 当 $z_{1}, z_{2}$ 都是实数时, 把它们看作复数时的积就是这两个实数的积.

可以看出, 两个复数相乘, 类似于两个多项式相乘, 只要在所得的结果中把 $i^{2}$ 换成 $- 1$ , 并且把实部与虚部分别合并即可.

思考

复数的乘法是否满足交换律、结合律? 乘法对加法满足分配律吗?

定理

容易得到, 对于任意 $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ , 有

$z_{1} z_{2} (z_{1} z_{2}) z_{3} z_{1} (z_{2} + z_{3}) = z_{2} z_{1} = z_{1} (z_{2} z_{3}), = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} .$

例 3

计算 $(1 - 2 i) (3 + 4 i) (- 2 + i)$ .

解:

$= = (1 - 2 i) (3 + 4 i) (- 2 + i) (11 - 2 i) (- 2 + i) - 20 + 15 i .$

例 4

计算:
(1) $(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ ;
(2) $(1 + i)^{2}$ .

分析：

本例可以用复数的乘法法则计算, 也可以用乘法公式计算.

这里 “乘法公式” 指的是与实数系中的乘法公式相对应的公式.

解:

(1)

$(2 + 3 i) (2 - 3 i) = 2^{2} - (3 i)^{2} = 4 - (- 9) = 13;$

(2)

$(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 1 + 2 i - 1 = 2 i .$

思考

若 $z_{1}, z_{2}$ 是共轭复数, 则 $z_{1} z_{2}$ 是一个怎样的数?

探究

类比实数的除法是乘法的逆运算, 我们规定复数的除法是乘法的逆运算. 请探求复数除法的法则.

定义

复数除法的法则是：

$(a + b i) \div (c + d i) = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i (a, b, c, d \in R, 且 c + d i \neq = 0) .$

由此可见, 两个复数相除 (除数不为 0 ), 所得的商是一个确定的复数.

在进行复数除法运算时, 通常先把 $(a + b i) \div (c + d i)$ 写成 $\frac{a + b i}{c + d i}$ 的形式, 再把分子与分母都乘分母的共轴复数 $c - d i$ , 化简后就可得到上面的结果. 这里分子分母都乘分母的 “实数化因式” (共轭复数), 从而使分母 “实数化”.

例 5

计算 $(1 + 2 i) \div (3 - 4 i)$ .

解:

$(1 + 2 i) \div (3 - 4 i) = \frac{1 + 2 i}{3 - 4 i} = \frac{( 1 + 2 i ) ( 3 + 4 i )}{( 3 - 4 i ) ( 3 + 4 i )} = \frac{3 - 8 + 6 i + 4 i}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{- 5 + 10 i}{25} = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

例 6

在复数范围内解下列方程:
(1) $x^{2} + 2 = 0$ ;
(2) $a x^{2} + b x + c = 0$ , 其中 $a, b, c \in R$ , 且 $a \neq = 0, Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ .

分析:

利用复数的乘法容易得到 (1) 中方程的根. 对于 (2), 当 $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ 时, 一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无实数根. 利用求解一元二次方程的 “根本大法” —— 配方法, 类似于 (1), 就能在复数范围内求得 (2) 中方程的根.

解：

(1) 因为 $(2 i)^{2} = (- 2 i)^{2} = - 2$ , 所以方程 $x^{2} + 2 = 0$ 的根为 $x = \pm 2 i$ .

(2) 将方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的二次项系数化为 1 , 得

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0.$

配方, 得

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}},$

即

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = - \frac{- ( b ^{2} - 4 a c )}{( 2 a ) ^{2}} .$

由 $Δ < 0$ , 知 $\frac{- ( b ^{2} - 4 a c )}{( 2 a ) ^{2}} = \frac{- Δ}{( 2 a ) ^{2}} > 0$ . 类似 (1), 可得

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{- ( b ^{2} - 4 a c )}{2 a} i .$

所以原方程的根为 $x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{- ( b ^{2} - 4 a c )}{2 a} i$ .

定理

在复数范围内, 实系数一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)$ 的求根公式为:
(1) 当 $Δ ⩾ 0$ 时, $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ ;
(2) 当 $Δ < 0$ 时, $x = \frac{- b \pm - ( b ^{2} - 4 a c ) i}{2 a}$ .

思考

根据复数的加法法则、乘法法则, 你能说明实数系经过扩充后得到的新数集就是复数集 $C$ 吗?

练习

计算:
(1) $(7 - 6 i) (- 3 i)$ ;
(2) $(3 + 4 i) (- 2 - 3 i)$ ;
(3) $(1 + 2 i) (3 - 4 i) (- 2 - i)$ .

计算:
(1) $(3 + 2 i) (- 3 + 2 i)$ ;
(2) $(1 - i)^{2}$ ;
(3) $i (2 - i) (1 - 2 i)$ .

计算:
(1) $\frac{1 + i}{1 - i}$ ;
(2) $\frac{1}{i}$ ;
(3) $\frac{7 + i}{3 + 4 i}$ ;
(4) $\frac{( - 1 + i ) ( 2 + i )}{- i}$ .

在复数范围内解下列方程:
(1) $9 x^{2} + 16 = 0$ ;
(2) $x^{2} + x + 1 = 0$ .

习题 7.2

复习巩固

计算:
(1) $(6 - 5 i) + (3 + 2 i)$ ;
(2) $5 i - (2 + 2 i)$ ;
(3) $(\frac{2}{3} + i) + (1 - \frac{2}{3} i) - (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} i)$ ;
(4) $(0.5 + 1.3 i) - (1.2 + 0.7 i) + (1 - 0.4 i)$ .

在复平面内, 复数 $6 + 5 i, - 3 + 4 i$ 对应的向量分别是 $O A, OB$ , 其中 $O$ 是原点, 求向量 $A B$ , $B A$ 对应的复数.

计算:
(1) $(- 8 - 7 i) (- 3 i)$ ;
(2) $(4 - 3 i) (- 5 - 4 i)$ ;
(3) $(- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) (1 + i)$ ;
(4) $(\frac{3}{2} i - \frac{1}{2}) (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i)$ ;
(5) $(1 + i) (1 - i) + (- 1 + i)$ .

计算:
(1) $\frac{2 i}{2 - i}$ ;
(2) $\frac{2 + i}{7 + 4 i}$ ;
(3) $\frac{1}{( 2 - i ) ^{2}}$ ;
(4) $\frac{5 ( 4 + i ) ^{2}}{i ( 2 + i )}$ .

综合运用

四边形 $A BC D$ 是复平面内的平行四边形, $A, B, C$ 三点对应的复数分别是 $1 + 3 i, - i, 2 + i$ ,求点 $D$ 对应的复数.

在复数范围内解下列方程:
(1) $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ ;
(2) $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ .

已知 $2 i - 3$ 是关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根, 求实数 $p, q$ 的值.

拓广探索

利用公式 $a^{2} + b^{2} = (a + b i) (a - b i)$ , 把下列各式分解成一次因式的积：
(1) $x^{2} + 4$ ;
(2) $a^{4} - b^{4}$ .

若 $z = x + y i (x, y \in R)$ , 则复平面内满足 $∣ z - (2 + i) ∣ = 3$ 的点 $Z$ 的集合是什么图形?

10.

使用信息技术手段进行试验：尝试在复数集中对实系数多项式进行因式分解, 观察并记录所发现的规律.

阅读与思考

代数基本定理

在代数发展史上的很长一段时期内, 解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题. 早在古巴比伦时期, 人们就会解一元二次方程. 16 世纪上半叶, 数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法 (包括求根公式). 此后, 数学家们转向求解一元五次及五次以上的方程. 他们想弄清楚以下问题: 一般的一元多项式方程有没有根? 如果有根, 根的个数是多少? 是否存在求根公式?

我们可以发现这样一个现象: 随机生成的一元多项式, 在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积, 且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数. 事实上, 数学中有如下定理:

定理

代数基本定理（fundamental theorem of algebra）任何一元 $n (n \in N^{*})$ 次复系数多项式方程 $f (x) = 0$ 至少有一个复数根.

代数基本定理是数学中最重要的定理之一, 它在代数学中起着基础作用. 代数基本定理的证明方法有很多种, 但每种证法都涉及高等数学知识, 此处不作介绍. 有兴趣的同学可以查阅相关资料.

由代数基本定理可以得到：任何一元 $n (n \in N^{*})$ 次复系数多项式 $f (x)$ 在复数集中可以分解为 $n$ 个一次因式的乘积. 进而, 一元 $n$ 次多项式方程有 $n$ 个复数根（重根按重数计）. 你能给出证明吗?

尽管一元 $n$ 次多项式方程有 $n$ 个复数根（重根按重数计）, 但是一元五次及五次以上的方程不存在一般的求根公式.

下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.

设实系数一元二次方程

$a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{2} \neq = 0)$

在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1}, x_{2}$ , 容易得到

$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} = - \frac{a _{1}}{a _{2}}, x_{1} x_{2} = \frac{a _{0}}{a _{2}} .$

设实系数一元三次方程

$a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{3} \neq = 0) (1)$

在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ , 可以得到, 方程 (1) 可变形为

$a_{3} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = 0,$

展开得

$a_{3} x^{3} - a_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x^{2} + a_{3} (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) x - a_{3} x_{1} x_{2} x_{3} = 0. (2)$

比较 (1) (2) 可以得到

$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{a _{2}}{a _{3}}, x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{a _{1}}{a _{3}} x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{a _{0}}{a _{3}} .$

思考

如果实系数一元四次方程

$a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{4} \neq = 0)$

在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ , 那么它们与方程的系数之间有什么关系呢?

思考

对于上述方程, 如果系数是复数, 那么根与系数的这些关系仍然成立吗?