8.2 立体图形的直观图

2024-07-03 22:08:00 新建

前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征. 为了将这些空间几何体画在纸上, 用平面图形表示出来, 使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构, 这就需要学习直观图的有关知识.

定义

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合, 用同一平面内的点表示. 因此, 直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中, 立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.

要画立体图形的直观图, 首先要学会画水平放置的平面图形.

观察

如图 8.2-1, 矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状? 眺望远处成块的农田, 矩形的农田在我们眼里又是什么形状?

在初中, 我们已经学习过投影. 一个物体的投影, 不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关. 如果一个矩形垂直于投影面, 投影线不垂直于投影面, 则矩形的平行投影是一个平行四边形（图 8.2-2).

斜二测画法

利用平行投影, 人们获得了画直观图的斜二测画法. 利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图, 其步骤是：
(1) 在已知图形中取互相垂直的 $x$ 轴和 $y$ 轴, 两轴相交于点 $O$ . 画直观图时, 把它们画成对应的 $x^{'}$ 轴与 $y^{'}$ 轴, 两轴相交于点 $O^{'}$ , 且使 $∠ x^{'} O^{'} y^{'} = 4 5^{\circ}$ (或 $13 5^{\circ}$ ), 它们确定的平面表示水平面.
(2) 已知图形中平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于 $x^{'}$ 轴或 $y^{'}$ 轴的线段.
(3) 已知图形中平行于 $x$ 轴的线段, 在直观图中保持原长度不变, 平行于 $y$ 轴的线段, 在直观图中长度为原来的一半.

例子

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图. 如图 8.2-3, 平行四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形 $A BC D$ 的直观图. 其中横向线段 $A^{'} B^{'} = A B$ , $C^{'} D^{'} = C D$ ; 纵向线段 $A^{'} D^{'} = \frac{1}{2} A D, B^{'} C^{'} = \frac{1}{2} BC; ∠ D^{'} A^{'} B^{'} = 4 5^{\circ}$ . 这与我们的直观观察是一致的.

例 1

用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

画法:

(1) 如图 8.2-4 (1), 在正六边形 $A BC D EF$ 中, 取 $A D$ 所在直线为 $x$ 轴, $A D$ 的垂直平分线 $MN$ 为 $y$ 轴, 两轴相交于点 $O$ . 在图 8.2-4(2) 中, 画相应的 $x^{'}$ 轴与 $y^{'}$ 轴, 两轴相交于点 $O^{'}$ , 使 $∠ x^{'} O^{'} y^{'} = 4 5^{\circ}$ .

(2) 在图 8.2-4 (2) 中, 以 $O^{'}$ 为中点, 在 $x^{'}$ 轴上取 $A^{'} D^{'} = A D$ , 在 $y^{'}$ 轴上取 $M^{'} N^{'} = \frac{1}{2} MN$ . 以点 $N^{'}$ 为中点, 画 $B^{'} C^{'}$ 平行于 $x^{'}$ 轴, 并且等于 $BC$ ; 再以 $M^{'}$ 为中点, 画 $F^{'} E^{'}$ 平行于 $x^{'}$ 轴, 并且等于 $FE$ .

(3) 连接 $A^{'} B^{'}, C^{'} D^{'}, D^{'} E^{'}, F^{'} A^{'}$ , 并擦去辅助线 $x^{'}$ 轴和 $y^{'}$ 轴, 便获得正六边形 $A BC D EF$ 水平放置的直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}$ (图 8.2-4(3)).

思考

在利用斜二测画法画直观图的过程中, $x$ 轴和 $y$ 轴起到了什么作用?

画圆的直观图

画直观图时, 除多边形外, 还经常会遇到画圆的直观图的问题. 生活的经验告诉我们, 水平放置的圆看起来非常像椭圆, 因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 实际画图时常用如图 8.2-5 所示的椭圆模板.

在立体几何中, 常用正等测画法画水平放置的圆.

练习

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时, 下列结论是否正确? 正确的在括号内画 “ ", 错误的画 “ $\times$ ”.
(1) 相等的线段在直观图中仍然相等. $()$
(2) 平行的线段在直观图中仍然平行. $()$
(3) 一个角的直观图仍是一个角. $()$
(4) 相等的角在直观图中仍然相等. $()$

用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图 (尺寸自定).
(1) 矩形;
(2) 平行四边形;
(3) 正三角形;
(4) 正五边形.

画几何体的直观图时, 与画平面图形的直观图相比, 只是多画一个与 $x$ 轴、 $y$ 轴都垂直的 $z$ 轴, 并且使平行于 $z$ 轴的线段的平行性和长度都不变.

下面介绍几种简单几何体的直观图的画法.

例 2

已知长方体的长、宽、高分别是 $3 cm, 2 cm, 1.5 cm$ , 用斜二测画法画出它的直观图.

分析:

画棱柱的直观图, 通常将其底面水平放置. 利用斜二测画法画出底面, 再画出侧棱, 就可以得到棱柱的直观图. 长方体是一种特殊的棱柱, 为画图简便, 可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴.

画法:

(1) 画轴. 如图 8.2-6, 画 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴, 三轴相交于点 $O (A)$ , 使 $∠ x O y = 4 5^{\circ}, ∠ x O z = 9 0^{\circ}$ .
(2) 画底面. 在 $x$ 轴正半轴上取线段 $A B$ , 使 $A B = 3 cm$ ; 在 $y$ 轴正半轴上取线段 $A D$ , 使 $A D = 1 cm$ . 过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线, 过点 $D$ 作 $x$ 轴的平行线, 设它们的交点为 $C$ , 则平行四边形 $A BC D$ 就是长方体的底面 $A BC D$ 的直观图.
(3) 画侧棱. 在 $z$ 轴正半轴上取线段 $A A^{'}$ , 使 $A A^{'} = 1.5 cm$ , 过 $B, C, D$ 各点分别作 $z$ 轴的平行线, 在这些平行线上分别截取 $1.5 cm$ 长的线段 $B B^{'}, C C^{'}, D D^{'}$ .
(4) 成图. 顺次连接 $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ , 并加以整理（去掉辅助线, 将被遮挡的部分改为虚线), 就得到长方体的直观图了.

画几何体的直观图时, 如果不作严格要求,图形尺寸可以适当选取。用斜二测画法画图的角度也可以自定, 但要求图形具有一定的立体感.

例 3

已知圆柱的底面半径为 $1 cm$ , 侧面母线长 $3 cm$ , 画出它的直观图.

解:

(1) 画轴. 如图 8.2-7, 画 $x$ 轴、 $z$ 轴, 使 $∠ x O z = 9 0^{\circ}$ .
(2) 画下底面. 以 $O$ 为中点, 在 $x$ 轴上取线段 $A B$ , 使 $O A = OB = 1 cm$ . 利用椭圆模板画椭圆, 使其经过 $A, B$ 两点. 这个椭圆就是圆柱的下底面.
(3) 画上底面. 在 $O z$ 上截取点 $O^{'}$ , 使 $O O^{'} = 3 cm$ , 过点 $O^{'}$ 作平行于轴 $O x$ 的轴 $O^{'} x^{'}$ . 类似下底面的作法作出圆柱的上底面.
(4) 成图. 连接 $A A^{'}, B B^{'}$ , 整理得到圆柱的直观图.

例子圆锥的直观图

对于圆锥的直观图, 一般先画圆锥的底面, 再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点, 最后画出两侧的两条母线（图 8.2-8）.

例子画球的直观图

画球的直观图, 一般需要画出球的轮廓线, 它是一个圆. 同时还经常画出经过球心的截面圆, 它们的直观图是椭圆, 用以衬托球的立体性（图 8.2-9).

例 4

某简单组合体由上下两部分组成, 下部是一个圆柱, 上部是一个圆锥, 圆锥的底面与圆柱的上底面重合. 画出这个组合体的直观图.

分析:

画组合体的直观图, 先要分析它的结构特征, 知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式, 然后再画直观图. 本题中没有尺寸要求, 画图时只需选择合适的大小,表达出该几何体的结构特征就可以了.

画法:

如图 8.2-10, 先画出圆柱的上下底面, 再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点, 最后画出圆柱和圆锥的母线, 并标注相关字母, 就得到组合体的直观图.

练习

用斜二测画法画一个棱长为 $3 cm$ 的正方体的直观图.

用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.

一个简单组合体由上下两部分组成, 下部是一个圆柱, 上部是一个半球, 并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心. 画出这个组合体的直观图.

习题 8.2

复习巩固

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时, 下列结论是否正确? 正确的在括号内画 “ ”, 错误的画 “ $\times$ ”.
(1) 三角形的直观图是三角形. $()$
(2) 平行四边形的直观图是平行四边形. $()$
(3) 正方形的直观图是正方形. $()$
(4) 菱形的直观图是菱形. $()$

用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图:
(1) 直角边横向;
(2) 斜边横向.

用斜二测画法画出底面边长为 $2 cm$ , 侧棱长为 $3 cm$ 的正三棱柱的直观图.

画底面半径为 $1 cm$ , 母线长为 $3 cm$ 的圆柱的直观图.

综合运用

一个菱形的边长为 $4 cm$ , 一内角为 $6 0^{\circ}$ , 将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向, 试用斜二测画法画出这个菱形的直观图.

已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成, 画出这个圆锥的直观图.

一个几何体的三视图如图所示, 画出这个几何体的直观图.

拓广探索

画出你所在学校的一些建筑物的直观图（尺寸自定）.

阅读与思考

画法几何与蒙日

画法几何就是在平面上绘制空间图形, 并在平面图上表达出空间原物体各部分的大小、位置以及相互关系的一门学科. 它在绘画、建筑等方面有着广泛的应用.

画法几何起源于欧洲文艺复兴时期的绘画和建筑技术. 意大利艺术家莱奥纳多 $\cdot$ 达 $\cdot$ 芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）在他的绘画作品中已经广泛地运用了透视理论, 主要是中心投影. 法国数学家德萨格 (Gérard Desargues, 1593-1662）在他的 “透视法” 中给出了空间几何体透视像的画法, 以及如何从平面图中正确地计算出几何体的尺寸大小的方法, 主要是运用正投影. 后来法国数学家蒙日经过深入研究, 在 1799 年出版了《画法几何学》一书. 在该书中, 蒙日第一次详细阐述了怎样把空间（三维）物体投影到两个互相垂直的平面上, 并根据投影原理（这种原理后来发展成射影几何学）推断出该空间物体的几何性质. 蒙日的《画法几何学》不论是在概念上, 还是在方法上都有深远的影响. 这种方法对于建筑学、军事学、机械制图等方面都有极大的实用价值, 从此画法几何就成为一门独立的几何分支学科.蒙日成为画法几何的创始人.

蒙日生长在法国大革命时代, 他出生于法国东部博衲的一个小商人家庭. 16 岁时, 因为熟练地以比例尺绘出家乡的地图, 他被梅济耶尔军事学院聘为绘图员. 1768 年, 蒙日开始在梅济耶尔军事学院教授物理和数学, 那时他只有 22 岁. 1780 年, 他被选为巴黎科学院通讯院士. 1783 年, 他迁居巴黎后, 积极投身巴黎的公共事务, 曾任度量衡委员会的委员、海军与殖民部长, 并参与创办了巴黎综合工科学校和法兰西国家研究院. 为了从数据中求出要塞中炮兵阵地的位置, 蒙日用几何方法避开了麻烦的计算. 他用二维平面上的适当投影来表达三维物体的聪明方法, 在实际中有着广泛的应用, 并导致画法几何的产生. 法国大革命前后,由于军事建筑上的迫切需要, 蒙日的画法几何方法被列为军事秘密, 所以很久未能公之于世. 直到当时的军事约束解除后, 蒙日才公布了他的研究成果, 这已是他建立画法几何之后 30 年的事了.