6.5 小结

2024-06-08 22:16:49 新建

本章知识结构

回顾与思考

向量是刻画现实世界中 “既有大小又有方向的量”的数学工具. 本章我们类比数及其运算, 学习了向量及其运算, 以及向量运算的几何意义, 并用向量方法解决了一些几何问题、物理问题, 特别是用向量方法研究了任意三角形的边角关系, 得到了正弦定理、余弦定理. 其研究的内容、过程是：向量现实背景、几何背景 — 向量的概念 — 向量的运算和运算律 — 相关知识的联系 — 实际应用.

我们通过分析位移、力、速度等了解了向量的实际背景, 引入了向量概念. 其中, 位移是向量的最佳现实模型. 定义向量概念时, 我们首先明确了向量的内涵（大小、方向）, 并用有向线段表示向量, 然后认识了单位向量、零向量等 “特殊” 向量, 明确了两个向量的平行、相等、共线等 “特殊关系”. 这里, 明确数学对象的内涵及表示是定义一个数学对象的基本要求.

向量的运算, 是 “带方向的量的运算”. 这里, 如何对方向进行运算是核心问题.“位移的合成” 很好地解释了 “两个方向之和”, 以此为背景我们定义了向量加法的三角形法则; 而以 “力的合成”为背景定义了向量加法的平行四边形法则. “定义了一种运算就要研究运算律”, 向量加法满足交换律、结合律, 而交换律就是 “平行四边形的两组对边分别平行且相等”的向量表达式.

类比数 $a$ 的整数倍 $na$ 是 $n$ 个 $a$ 相加的总和, 可以把 $n$ 个向量 $a$ 相加的总和写为 $n a$ . 一般地, 实数 $λ$ 与向量 $a$ 的乘积 $λ a$ 是一个向量, 它所满足的运算律 (1) $λ a + μ a = (λ + μ) a$ , (2) $λ (μ a) = (λ μ) a$ , (3) $λ (a + b) = λ a + λ b$ 与实数乘法的运算律有所差异. 这里有两个特别有用的结论: 一是 $k (a + b) = k a + k b$ 是 “相似三角形对应边的比等于相似比”的代数化形式; 二是 $λ a$ 与 $a$ 共线, 由此,两个非零向量 $a, b$ 共线（平行）的充要条件是 $a = λ b$ . 其实, 联系数轴概念,如果设 $e$ 是与数轴 $O x$ 的方向相同的单位向量, 数轴上任意一点 $P$ 的坐标为 $x$ , 那么 $OP = x e$ ; 反之也对.

以物理中力做功为背景, 我们定义了两个向量的数量积, 并研究了它的运算律, 其中分配律是非常重要的. 向量数量积不同于向量的线性运算, 因为它的运算结果是数量, 不是向量. 向量数量积与距离、夹角等紧密相联, 用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何问题.

为了彻底实现几何的代数化, 需要进一步研究平面上点的向量表示问题. 对于平面 $α$ 上任意一点 $P$ , 可以利用向量的加法和数乘向量, 把平面 $α$ 上的向量 $OP$ 表示为 $k_{1} a + k_{2} b$ (其中向量 $a, b$ 不共线), 从而使它成为可运算的对象. 在解决几何问题时, 这种表示发挥了基础性作用, 因此我们把它叫做平面向量基本定理. 特别地, 我们以 ${i, j}$ 为基底, 建立了平面直角坐标系 $O x y$ 中的向量 $O A$ 与点 $A$ 的坐标间的一一对应.

通过本章的学习我们发现, 与集合是一种特殊的运算对象类似, 向量也是一种不同于实数的运算对象, 而向量运算与实数运算既有差别又有共性. 在定义向量的运算法则, 探索其相应的运算律时, 我们总是类比数及其运算来发现和提出问题. 因此, 本章的学习对于提高我们对数学运算的认识水平, 理解数学运算和逻辑推理的关系等，都有很大的帮助.

用向量方法解决平面几何问题, 其特色是仅用向量加法法则（称为 “向量回路” ）、向量数乘的意义及其运算律、向量数量积的意义和运算律（特别是相互垂直的向量数量积为 0 ), 以及平面向量基本定理等 4 条基本法则、定理. 与平面几何有大量基本事实、定理比较, 向量法在解决某些几何问题时简捷得多. 例如, 利用 “三角形回路” $A B + BC = A C$ 和数量积, 我们非常快捷地得到了余弦定理.

平面向量及其运算与空间向量及其运算紧密联系, 与数及其运算也直接相关, 在其他学科 (特别是物理) 中也有广泛应用. 这种联系我们可以用下面的框图表示.

请你带着下面的问题, 复习一下全章的内容吧!

向量的概念是什么? 用有向线段如何表示一个向量?
你能说说向量的加法、减法、向量的数乘运算、向量的数量积是如何定义的吗?
运算律是运算的灵魂. 你能通过实例, 说明向量的加法、向量的数乘运算、向量的数量积有哪些运算律吗? 这些运算律的几何意义是什么? 这些运算律与数的运算律的联系与区别是什么?
平面向量基本定理是什么? 这个定理的意义是什么? 你能说说什么是向量的坐标表示吗?
你能用向量的坐标表示描述向量共线的条件吗? 你能用向量的坐标表示描述向量的长度及两个向量的夹角吗?
用向量方法解决平面几何问题要经过哪些步骤? 要注意哪些问题? 你能通过实例说明如何选择基底吗?
你能通过实例, 说明向量在物理中的应用吗?
回顾用向量方法推导正弦定理、余弦定理的过程, 你能总结一下其中的思想方法吗?

复习参考题 6

复习巩固

判断下列命题是否正确（正确的在括号内打 “√”，错误的打 “×”）．
(1) $A B + B A = 0$ . $()$
(2) $A B + BC = A C$ . $()$
(3) $A B - A C = BC$ . $()$
(4) $0 A B = 0$ . $()$

选择题
(1) 如果 $a, b$ 是两个单位向量, 那么下列四个结论中正确的是（）.
(A) $a = b$
(B) $a \cdot b = 1$
(C) $a^{2} \neq = b^{2}$
(D) $∣ a ∣^{2} = ∣ b ∣^{2}$

(2) 对于任意两个向量 $a$ 和 $b$ , 下列命题中正确的是（）.
(A) 若 $a, b$ 满足 $∣ a ∣ > ∣ b ∣$ , 且 $a$ 与 $b$ 同向, 则 $a > b$
(B) $∣ a + b ∣ ⩽ ∣ a ∣ + ∣ b ∣$
(C) $∣ a \cdot b ∣ ⩾ ∣ a ∣∣ b ∣$
(D) $∣ a - b ∣ ⩽ ∣ a ∣ - ∣ b ∣$

(3) 在四边形 $A BC D$ 中, 若 $A C = A B + A D$ , 则（）.
(A) 四边形 $A BC D$ 是矩形
(B) 四边形 $A BC D$ 是菱形
(C) 四边形 $A BC D$ 是正方形
(D) 四边形 $A BC D$ 是平行四边形

(4) 设 $a$ 是非零向量， $λ$ 是非零实数，下列结论中正确的是（）.
(A) $a$ 与 $- λ a$ 的方向相反
(B) $∣ - λ a ∣ ⩾ ∣ a ∣$
(C) $a$ 与 $λ^{2} a$ 的方向相同
(D) $∣ - λ a ∣ = ∣ λ ∣ a$

(5) 设 $M$ 是平行四边形 $A BC D$ 的对角线的交点， $O$ 为任意一点，则 $O A + OB + OC + O D =$ ( ).
(A) $OM$
(B) $2 OM$
(C) $3 OM$
(D) $4 OM$

(6) 在下列各组向量中, 可以作为基底的是（）.
(A) $e_{1} = (0, 0), e_{2} = (1, - 2)$
(B) $e_{1} = (- 1, 2), e_{2} = (5, 7)$
(C) $e_{1} = (3, 5), e_{2} = (6, 10)$
(D) $e_{1} = (2, - 3), e_{2} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

已知六边形 $A BC D EF$ 为正六边形, 且 $A C = a, B D = b$ , 分别用 $a, b$ 表示 $D E, A D, BC$ , $EF, F A, A B, CE$

已知平面直角坐标系中, 点 $O$ 为原点, $A (- 3, - 4), B (5, - 12)$ .
(1) 求 $A B$ 的坐标及 $∣ A B ∣$ 的值;
(2) 若 $OC = O A + OB, O D = O A - OB$ , 求 $OC$ 与 $O D$ 的坐标;
(3) 求 $O A \cdot OB$ 的值.

已知点 $A (1, 1), B (- 1, 0), C (0, 1)$ . 若 $A B = C D$ , 则点 $D$ 的坐标是什么?

已知向量 $a = (1, 0), b = (1, 1), c = (- 1, 0)$ , 求满足 $c = λ a + μ b$ 的 $λ$ 和 $μ$ 的值.

已知 $△ A BC$ 的顶点坐标分别为 $A (1, 1), B (4, 1), C (4, 5)$ , 求 $cos A, cos B, cos C$ 的值.

已知向量 $a = (1, 0), b = (1, 1)$ . 当 $λ$ 为何值时, $a + λ b$ 与 $a$ 垂直?

已知向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $3 0^{\circ}, ∣ a ∣ = 3, ∣ b ∣ = 2$ , 求 $∣ a + b ∣, ∣ a - b ∣$ 的值.

10.

如图, 支座 $A$ 受 $F_{1}, F_{2}$ 两个力的作用, 已知 $F_{1}$ 与水平线成 $θ$ 角, $∣ F_{1} ∣ = 40 N, F_{2}$ 沿水平方向, $∣ F_{2} ∣ = 70 N, F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的合力 $F$ 的大小为 $100 N$ , 求 $cos θ$ 以及 $F$ 与 $F_{2}$ 的夹角 $β$ 的余弦值.

11.

在 $△ A BC$ 中, 分别根据下列条件解三角形（角度精确到 $1^{'}$ , 边长精确到 $0.01 cm$ ):
(1) $a = 12 cm, b = 5 cm, A = 12 0^{\circ}$ ;
(2) $a = 6 cm, b = 8 cm, A = 3 0^{\circ}$ ;
(3) $a = 7 cm, b = 23 cm, C = 13 0^{\circ}$ ;
(4) $a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm$ .

12.

海中有一座小岛, 周围 $3 n$ mile 内有暗礁. 一艘海轮由西向东航行, 望见该岛在北偏东 $7 5^{\circ}$ ;海轮航行 $8 n$ mile 以后, 望见该岛在北偏东 $5 5^{\circ}$ . 如果这艘海轮不改变航向继续前进, 有没有触礁的危险?

综合运用

13.

选择题

(1) 已知 $a, b$ 是不共线的向量，且 $A B = a + 5 b, BC = - 2 a + 8 b, C D = 3 (a - b)$ , 则（）.
(A) $A, B, D$ 三点共线
(B) $A, B, C$ 三点共线
(C) $B, C, D$ 三点共线
(D) $A, C, D$ 三点共线

(2) 已知正方形 $A BC D$ 的边长为 $1, A B = a, BC = b, A C = c$ , 则 $∣ a + b + c ∣ =$ ( ).
(A) 0
(B) 3
(C) $2$
(D) $22$

(3) 已知 $O A = a, OB = b, OC = c, O D = d$ , 且四边形 $A BC D$ 为平行四边形, 则 ( ).
(A) $a + b + c + d = 0$
(B) $a - b + c - d = 0$
(C) $a + b - c - d = 0$
(D) $a - b - c + d = 0$

(4) 若 $e_{1}, e_{2}$ 是夹角为 $6 0^{\circ}$ 的两个单位向量, 则 $a = 2 e_{1} + e_{2}$ 与 $b = - 3 e_{1} + 2 e_{2}$ 的夹角为 ( ).
(A) $3 0^{\circ}$
(B) $6 0^{\circ}$
(C) $12 0^{\circ}$
(D) $15 0^{\circ}$

(5) 已知等边三角形 $A BC$ 的边长为 $1, BC = a, C A = b, A B = c$ , 那么 $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a =$ ( ).
(A) $3$
(B) $- 3$
(C) $\frac{3}{2}$
(D) $- \frac{3}{2}$

(6) 若平面向量 $a, b, c$ 两两的夹角相等, 且 $∣ a ∣ = 1, ∣ b ∣ = 1, ∣ c ∣ = 3$ , 则 $∣ a + b + c ∣ =$ ( ).
(A) 2
(B) 5
(C) 2 或 5
(D) $2$ 或 $5$

14.

已知 $a, b, c, d$ 为非零向量, 证明下列结论, 并解释其几何意义.
(1) $a ⊥ b \Leftrightarrow ∣ a + b ∣ = ∣ a - b ∣$ ;
(2) 若 $a + b = c, a - b = d$ , 则 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ \Leftrightarrow c ⊥ d$ .

15.

已知 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ , 向量 $O P_{1}, O P_{2}, O P_{3}$ 满足条件 $O P_{1} + O P_{2} + O P_{3} = 0$ , $∣ ∣ O P_{1} ∣ ∣ = ∣ ∣ O P_{2} ∣ ∣ = ∣ ∣ O P_{3} ∣ ∣$ . 求证: $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 是等边三角形.

16.

如图, 已知 $O A = a, OB = b$ , 任意点 $M$ 关于点 $A$ 的对称点为 $S$ , 点 $S$ 关于点 $B$ 的对称点为 $N$ , 用 $a, b$ 表示向量 $MN$ . （本题可以运用信息技术发现规律)

17.

一个人骑自行车由 $A$ 地出发向东骑行了 $9 km$ 到达 $B$ 地, 然后由 $B$ 地向南偏东 $3 0^{\circ}$ 方向骑行了 $6 km$ 到达 $C$ 地, 再从 $C$ 地向北偏东 $3 0^{\circ}$ 骑行了 $16 km$ 到达 $D$ 地, 求这个人由 $A$ 地到 $D$ 地的位移 (角度精确到 $1^{\circ}$ )。

拓广探索

18.

设计一种借助两个观察点 $C, D$ (其中 $C, D$ 之间的距离是 $d$ )测量航船的航向与速度的方法.

19.

如图, 直线 $l$ 与 $△ A BC$ 的边 $A B, A C$ 分别相交于点 $D, E$ . 设 $A B = c, BC = a, C A = b, ∠ A D E = θ$ , 请用向量方法探究 $θ$ 与 $△ A BC$ 的边和角之间的等量关系.