4.6 小结

1.

选择题
(1) 函数 $y=-2^{-x}$ 与 $y=2^x$ 的图象 ( ).
(A) 关于 $x$ 轴对称
(B) 关于 $y$ 轴对称
© 关于原点对称
(D) 关于直线 $y=x$ 对称

(2) 如图 (1), ① ② ③ ④ 中不属于函数 $y=2^x,y=6^x,y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的一个是 ( ).
(A) ① (B) ② © ③ (D) ④

(3) 如图 (2), ① ② ③ ④ 中不属于函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x,y={\log }_{\frac{1}{3}}x,y={\log }_{2}x$ 的一个是( ),
(A) ① (B) ② © ③ (D) ④

2.

用 “<" “>” “=” 填空:
(1) ${\mathrm{e}}^{0.8}$ _ _ _ $0.8^{\mathrm{e}}$;
(2) $2^{a+1}$ _ _ _ $3^a(a>2)$;
(3) $a^{0.2}$ _ _ _ $a^{0.3}(0<a<1)$;
(4) $\lg e$ _ _ _ $\ln 0.8$;
(5) ${\log }_{2}3$ _ _ _ ${\log }_{3}2$;
(6) ${\log }_{a}0.2$ _ _ _ ${\log }_{a}0.3(a>1)$.

3.

借助信息技术, 用二分法求:
(1) 方程 $2x^3-4x^2-3x+1=0$ 的最大的根（精确度为 0.01 ）;
(2) 函数 $f(x)=\lg x$ 和 $g(x)=\frac{1}{x}$ 交点的横坐标（精确度为 0.1 ).

4.

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2+2x-3,x⩽0,\\ -2+\ln x,x>0,\end{array}$ 求使方程 $f(x)=k$ 的实数解个数分别为 $1,2,3$ 时 $k$ 的相应取值范围.

5.

选择题
(1) 已知集合 $A=\left\{y\mid y={\log }_{2}x,x>1\right\},B=\left\{y|y=\frac{1}{2^x},x>1\right\}$, 则 $A\cap B=()$.
(A) $\left\{y|0<y<\frac{1}{2}\right\}$
(B) $\{y\mid 0<y<1\}$
© $\left\{y|\frac{1}{2}<y<1\right\}$
(D) $\varnothing$

(2) 已知 $f(x)=|\lg x|$, 若 $a=f\left(\frac{1}{4}\right),b=f\left(\frac{1}{3}\right),c=f(2)$, 则 ( ).
(A) $a<b<c$
(B) $b<c<a$
© $c<a<b$
(D) $c<b<a$

(3) 已知函数 $f(x)=2^x+x,g(x)={\log }_{2}x+x,h(x)=x^3+x$ 的零点分别为 $a,b,c$, 则 $a$, $b,c$ 的大小顺序为 ( ).
(A) $a>b>c$
(B) $b>c>a$
© $c>a>b$
(D) $b>a>c$

6.

设 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2},g(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$, 求证：
(1) $[g(x){]}^2-[f(x){]}^2=1$;
(2) $f(2x)=2f(x)g(x)$;
(3) $g(2x)=[g(x){]}^2+[f(x){]}^2$.

7.

指数函数 $y={\left(\frac{b}{a}\right)}^x$ 的图象如图所示, 求二次函数 $y=a{x}^2+bx$ 图象顶点的横坐标的取值范围.

8.

1986 年 4 月 26 日, 乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸, 核泄漏导致事故所在地被严重污染. 主要的核污染物是锶 90 , 它每年的衰减率为 $2.47\%$. 专家估计, 要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要 800 年, 到那时原有的锶 90 还剩百分之几?

9.

某工厂产生的废气经过滤后排放, 过滤过程中废气的污染物含量 $P$ (单位: $\mathrm{mg}/\mathrm{L}$ ) 与时间 $t$ (单位: $\mathrm{h}$ ) 间的关系为

$$P=P_0{\mathrm{e}}^{-kt},$$

其中 $P_0,k$ 是正的常数. 如果在前 $5\mathrm{h}$ 消除了 $10\%$ 的污染物, 那么
(1) $10\mathrm{h}$ 后还剩百分之几的污染物?
(2) 污染物减少 $50\%$ 需要花多少时间（精确到 $1\mathrm{h}$ )?
(3) 画出 $P$ 关于 $t$ 变化的函数图象.

10.

把物体放在冷空气中冷却, 如果物体原来的温度是 ${\theta }_1{}^{\circ }\mathrm{C}$, 空气的温度是 ${\theta }_0{}^{\circ }\mathrm{C}$, 那么 $t\min$ 后物体的温度 $\theta$ (单位: ${}^{\circ }\mathrm{C}$ ) 可由公式

$$\theta ={\theta }_0+\left({\theta }_1-{\theta }_0\right){\mathrm{e}}^{-kt}$$

求得, 其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数. 现有 $62{}^{\circ }\mathrm{C}$ 的物体, 放在 $15{}^{\circ }\mathrm{C}$ 的空气中冷却, $1\min$ 以后物体的温度是 $52{}^{\circ }\mathrm{C}$.
(1) 求 $k$ 的值（精确到 0.01 );
(2) 若要将物体的温度降为 $42{}^{\circ }\mathrm{C},32{}^{\circ }\mathrm{C}$, 求分别需要冷却的时间 (精确到 $0.1\min$ ).

11.

已知函数 $f(x)={\log }_a(x+1),g(x)={\log }_a(1-x)(a>0$, 且 $a\ne 1)$,
(1) 求函数 $f(x)+g(x)$ 的定义域;
(2) 判断函数 $f(x)+g(x)$ 的奇偶性, 并说明理由.

12.

对于函数 $f(x)=a-\frac{2}{2^x+1}(a\in \mathbf{R})$,
(1) 探索函数 $f(x)$ 的单调性;
(2) 是否存在实数 $a$ 使函数 $f(x)$ 为奇函数?

13.

如图, 函数 $y=f(x)$ 的图象由曲线段 $OA$ 和直线段 $AB$ 构成.
(1) 写出函数 $y=f(x)$ 的一个解析式;
(2) 提出一个能满足函数 $y=f(x)$ 图象变化规律的实际问题.