1.3 集合的基本运算

观察

观察下面的集合, 类比实数的加法运算, 你能说出集合 $C$ 与集合 $A,B$ 之间的关系吗?
(1) $A=\{1,3,5\},B=\{2,4,6\},C=\{1,2,3,4,5,6\}$;
(2) $A=\{x\mid x$ 是有理数 $\},B=\{x\mid x$ 是无理数 $\},C=\{x\mid x$ 是实数 $\}$.

例 1

设 $A=\{4,5,6,8\},B=\{3,5,7,8\}$, 求 $A\cup B$.

例 2

设集合 $A=\{x\mid -1<x<2\}$, 集合 $B=\{x\mid 1<x<3\}$, 求 $A\cup B$.

思考

下列关系式成立吗?
(1) $A\cup A=A$; (2) $A\cup \varnothing =A$.

思考

观察下面的集合, 集合 $A,B$ 与集合 $C$ 之间有什么关系?
(1) $A=\{2,4,6,8,10\},B=\{3,5,8,12\},C=\{8\}$;
(2) $A=\{x\mid x$ 是立德中学今年在校的女同学 $\},B=\{x\mid x$ 是立德中学今年在校的高一年级同学 $\},C=\{x\mid x$ 是立德中学今年在校的高一年级女同学 $\}$.

例 3

立德中学开运动会, 设
$A=\{x\mid x$ 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学 $\}$,
$B=\{x\mid x$ 是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学 $\}$,
求 $A\cap B$.

例 4

设平面内直线 $l_1$ 上点的集合为 $L_1$, 直线 $l_2$ 上点的集合为 $L_2$, 试用集合的运算表示 $l_1,l_2$ 的位置关系.

思考

下列关系式成立吗?
(1) $A\cap A=A$; (2) $A\cap \varnothing =\varnothing$.

1.

设 $A=\{3,5,6,8\},B=\{4,5,7,8\}$, 求 $A\cap B,A\cup B$.

2.

设 $A=\left\{x\mid x^2-4x-5=0\right\},B=\left\{x\mid x^2=1\right\}$, 求 $A\cup B,A\cap B$.

3.

设 $A=\{x\mid x$ 是等腰三角形 $\},B=\{x\mid x$ 是直角三角形 $\}$, 求 $A\cap B,A\cup B$.

4.

设 $A=\{x\mid x$ 是幸福农场的汽车 $\},B=\{x\mid x$ 是幸福农场的货车 $\}$, 求 $A\cup B$.

例 5

设 $U=\{x\mid x$ 是小于 9 的正整数 $\},A=\{1,2,3\},B=\{3,4,5,6\}$, 求 ${\complement }_{U}A$, ${\complement }_{U}B$.

例 6

设全集 $U=\{x\mid x$ 是三角形 $\},A=\{x\mid x$ 是锐角三角形 $\},B=\{x\mid x$ 是钝角三角形 $\}$, 求 $A\cap B,{\complement }_U(A\cup B)$.

1.

已知 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\},A=\{2,4,5\},B=\{1,3,5,7\}$, 求 $A\cap \left({\complement }_{U}B\right),\left({\complement }_{U}A\right)\cap \left({\complement }_{U}B\right)$.

2.

设 $S=\{x\mid x$ 是平行四边形或梯形 $\},A=\{x\mid x$ 是平行四边形 $\},B=\{x\mid x$ 是菱形 $\},C=\{x\mid x$ 是矩形 $\}$, 求 $B\cap C,{\complement }_{A}B,{\complement }_{S}A$.

3.

图中 $U$ 是全集, $A,B$ 是 $U$ 的两个子集, 用阴影表示:
(1) $\left({\complement }_{U}A\right)\cap \left({\complement }_{U}B\right)$;
(2) $\left({\complement }_{U}A\right)\cup \left({\complement }_{U}B\right)$.

1.

集合 $A=\{x\mid 2⩽x<4\},B=\{x\mid 3x-7⩾8-2x\}$, 求 $A\cup B,A\cap B$.

2.

设 $A=\{x\mid x$ 是小于 9 的正整数 $\},B=\{1,2,3\},C=\{3,4,5,6\}$. 求 $A\cap B,A\cap C$, $A\cap (B\cup C)$, $A\cup (B\cap C)$.

3.

学校开运动会, 设 $A=\{x\mid x$ 是参加 $100\mathrm{m}$ 跑的同学 $\},B=\{x\mid x$ 是参加 $200\mathrm{m}$ 跑的同学 $\}$, $C=\{x\mid x$ 是参加 $400\mathrm{m}$ 跑的同学 $\}$, 学校规定, 每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛, 请你用集合的运算说明这项规定, 并解释以下集合运算的含义:
(1) $A\cup B$;
(2) $A\cap C$.

4.

已知集合 $A=\{x\mid 3⩽x<7\},B=\{x\mid 2<x<10\}$, 求 ${\complement }_{\mathbf{R}}(A\cup B),{\complement }_{\mathbf{R}}(A\cap B),\left({\complement }_{\mathbf{R}}A\right)\cap B$, $A\cup \left({\complement }_{\mathbf{R}}B\right)$.

5.

设集合 $A=\{x\mid (x-3)(x-a)=0,a\in \mathbf{R}\},B=\{x\mid (x-4)(x-1)=0\}$, 求 $A\cup B,A\cap B$.

6.

已知全集 $U=A\cup B=\{x\in \mathbf{N}\mid 0⩽x⩽10\},A\cap \left({\complement }_{U}B\right)=\{1,3,5,7\}$, 试求集合 $B$.