6.4 平面向量的应用

2024-06-01 22:29:57 新建

前面我们学习了平面向量的概念和运算, 并通过平面向量基本定理, 把向量的运算化归为实数的运算. 本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题, 感受向量在解决数学和实际问题中的作用. 同时我们还将借助向量的运算, 探索三角形边长与角度的关系, 把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题.

6.4.1 平面几何中的向量方法

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质, 如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来, 因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. 下面通过两个具体实例, 说明向量方法在平面几何中的应用.

有了运算, 向量的力量无限; 没有运算, 向量就只是一个路标.

例 1

如图 6.4-1, $D E$ 是 $△ A BC$ 的中位线, 用向量方法证明: $D E // BC, D E = \frac{1}{2} BC$ .

分析:

初中证明过这个结论时要加辅助线, 有一定难度. 如果用向量方法证明这个结论, 可以取 ${A B, A C}$ 为基底, 用 $A B, A C$ 表示 $D E, BC$ , 证明 $D E = \frac{1}{2} BC$ 即可.

证明:

如图 6.4-2, 因为 $D E$ 是 $△ A BC$ 的中位线, 所以

$A D = \frac{1}{2} A B, A E = \frac{1}{2} A C .$

从而 $D E = A E - A D = \frac{1}{2} A C - \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} (A C - A B)$ .
又 $BC = A C - A B$ ,
所以 $D E = \frac{1}{2} BC$ .
于是 $D E // BC, D E = \frac{1}{2} BC$ .

用向量方法解决平面几何问题

平面几何经常涉及距离（线段长度）和角度问题, 而平面向量的运算, 特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角, 因此我们可以用向量方法解决某些几何问题. 用向量方法解决几何问题时, 通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素, 然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系, 最后再把运算结果 “翻译” 成几何关系, 便得到几何问题的结论.

用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”:
(1) 建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题;
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;
(3) 把运算结果 “翻译” 成几何关系.

例 2

如图 6.4-3, 已知平行四边形 $A BC D$ , 你能发现对角线 $A C$ 和 $B D$ 的长度与两条邻边 $A B$ 和 $A D$ 的长度之间的关系吗?

分析:

平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差, 我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.

解:

第一步, 建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题:

如图 6.4-4, 取 ${A B, A D}$ 为基底, 设 $A B = a, A D = b$ , 则

$A C = a + b, D B = a - b .$

第二步, 通过向量运算, 研究几何元素之间的关系:

$A C^{2} = (a + b)^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}, D B^{2} = (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a \cdot b + b^{2} .$

上面两式相加, 得 $A C^{2} + D B^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ .

第三步, 把运算结果 “翻译” 成几何关系:

$A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2}) .$

思考

你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗?

练习

证明: 等腰三角形的两个底角相等.

如图, 正方形 $A BC D$ 的边长为 $a, E$ 是 $A B$ 的中点, $F$ 是 $BC$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点, $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ , 求 $∠ EMF$ 的余弦值.

如图, 在 $△ A BC$ 中, 点 $O$ 是 $BC$ 的中点, 过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B, A C$ 于不同的两点 $M, N$ . 设 $A B = m A M, A C = n A N$ , 求 $m + n$ 的值.

6.4.2 向量在物理中的应用举例

下面, 我们再来感受一下向量在物理中的应用.

例 3

在日常生活中, 我们有这样的经验: 两个人共提一个旅行包, 两个拉力夹角越大越费力; 在单杜上做引体向上运动, 两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种现象吗?

分析:

不妨以两人共提旅行包为例, 只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系, 就可以获得问题的数学解释.

解:

先来看共提旅行包的情况. 如图 6.4-5, 设作用在旅行包上的两个拉力分别为 $F_{1}$ , $F_{2}$ , 为方便起见, 我们不妨设 $∣ F_{1} ∣ = ∣ F_{2} ∣$ . 另设 $F_{1}, F_{2}$ 的夹角为 $θ$ , 旅行包所受的重力为 $G$ .

由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道

$∣ F_{1} ∣ = \frac{∣ G ∣}{2 cos \frac{θ}{2}} .$

这里, $∣ G ∣$ 为定值. 分析上面的式子, 我们发现, 当 $θ$ 由 0 逐渐变大到 $π$ 时, $\frac{θ}{2}$ 由 0 逐渐变大到 $\frac{π}{2}, cos \frac{θ}{2}$ 的值由大逐渐变小, 此时 $∣ F_{1} ∣$ 由小逐渐变大; 反之, 当 $θ$ 由 $π$ 逐渐变小到 0 时, $\frac{θ}{2}$ 由 $\frac{π}{2}$ 逐渐变小到 $0, cos \frac{θ}{2}$ 的值由小逐渐变大, 此时 $∣ F_{1} ∣$ 由大逐渐变小. 这就是说, $F_{1}, F_{2}$ 之间的夹角越大越费力, 夹角越小越省力.

同理, 在单杠上做引体向上运动, 两臂的夹角越小越省力.

探究

(1) 当 $θ$ 为何值时， $∣ F_{1} ∣$ 最小? 最小值是多少?
(2) $∣ F_{1} ∣$ 能等于 $∣ G ∣$ 吗? 为什么?

答

事实上, 要使 $∣ F_{1} ∣$ 最小, 只需 $cos \frac{θ}{2}$ 最大, 此时 $cos \frac{θ}{2} = 1$ , 可得 $θ = 0$ . 于是 $∣ F_{1} ∣$ 的最小值为 $\frac{∣ G ∣}{2}$ . 若要使 $∣ F_{1} ∣ = ∣ G ∣$ , 只需 $cos \frac{θ}{2} = \frac{1}{2}$ , 此时 $\frac{θ}{2} = \frac{π}{3}$ , 即 $θ = \frac{2 π}{3}$ .

例 4

如图 6.4-6, 一条河两岸平行, 河的宽度 $d = 500 m$ , 一艘船从河岸边的 $A$ 地出发, 向河对岸航行. 已知船的速度 $v_{1}$ 的大小为 $∣ v_{1} ∣ = 10 km / h$ , 水流速度 $v_{2}$ 的大小为 $∣ v_{2} ∣ = 2 km / h$ , 那么当航程最短时,这艘船行驶完全程需要多长时间 (精确到 $0.1 min$ )?

分析:

如果水是静止的, 那么船只要取垂直于河岸的方向行驶, 就能使航程最短, 此时所用时间也是最短的. 考虑到水的流速, 要使航程最短, 船的速度与水流速度的合速度 $v$ 必须垂直于河岸.

解：

设点 $B$ 是河对岸一点, $A B$ 与河岸垂直, 那么当这艘船实际沿着 $A B$ 方向行驶时, 船的航程最短.

如图 6.4-7, 设 $v = v_{1} + v_{2}$ , 则

$∣ v ∣ = ∣ v_{1} ∣^{2} - ∣ v_{2} ∣^{2} = 96 (km / h) .$

此时, 船的航行时间

$t = \frac{d}{∣ v ∣} = \frac{0.5}{96} \times 60 \approx 3.1 (min).$

所以, 当航程最短时, 这艘船行驶完全程需要 $3.1 min$ .

练习

一物体在力 $F$ 的作用下, 由点 $A (20, 15)$ 移动到点 $B (7, 0)$ . 已知 $F = (4, - 5)$ , 求 $F$ 对该物体所做的功.

如图, 一滑轮组中有两个定滑轮 $A, B$ , 在从连接点 $O$ 出发的三根绳的端点处, 挂着 3 个重物, 它们所受的重力分别为 $4 N, 4 N$ 和 $43 N$ . 此时整个系统恰处于平衡状态, 求 $∠ A OB$ 的大小.

若平面上的三个力 $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ 作用于一点, 且处于平衡状态. 已知 $∣ F_{1} ∣ = 1 N, ∣ F_{2} ∣ = \frac{6 + 2}{2} N, F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的夹角为 $4 5^{\circ}$ , 求:

(1) $F_{3}$ 的大小;
(2) $F_{3}$ 与 $F_{1}$ 夹角的大小.

6.4.3 余弦定理、正弦定理

一个三角形含有各种各样的几何量, 例如三边边长、三个内角的度数、面积等, 它们之间存在着确定的关系. 例如, 在初中, 我们得到过勾股定理、锐角三角函数, 这是直角三角形中的边、角定量关系. 对于一般三角形, 我们已经定性地研究过三角形的边、角关系, 得到了 SSS, SAS, ASA, AAS 等判定三角形全等的方法. 这些判定方法表明, 给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素, 这个三角形就是唯一确定的. 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系?

下面我们利用向量方法研究这个问题.

1. 余弦定理

我们知道, 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 这说明, 给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说, 三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么, 表示的公式是什么?

探究

在 $△ A BC$ 中, 三个角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ , 怎样用 $a, b$ 和 $C$ 表示 $c$ ?

答

因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角, 所以我们考虑用向量的数量积来探究.

如图 6.4-8, 设 $CB = a, C A = b, A B = c$ , 那么

$c = a - b . (1)$

我们的研究目标是用 $∣ a ∣, ∣ b ∣$ 和 $C$ 表示 $∣ c ∣$ , 联想到数量积的性质 $c \cdot c = ∣ c ∣^{2}$ , 可以考虑用向量 $c$ (即 $a - b$ ) 与其自身作数量积运算.

由 (1) 得

$∣ c ∣^{2} = c \cdot c = (a - b) \cdot (a - b) = a \cdot a + b \cdot b - 2 a \cdot b = a^{2} + b^{2} - 2∣ a ∣∣ b ∣ cos C .$

所以

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C .$

同理可得

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A, b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B .$

思考

从这里的推导过程,你感受到向量运算的力量了吗?

于是, 我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理:

余弦定理 (cosine theorem)

三角形中任何一边的平方, 等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A, b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B, c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C .$

思考

你能用其他方法证明余弦定理吗?

利用余弦定理, 我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.

思考

余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系. 应用余弦定理, 我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题, 怎么确定呢?

推论

由余弦定理, 可以得到如下推论:

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}, cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a}, cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab} .$

利用推论, 可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角.

余弦定理及其推论把用 “SAS” 和 “SSS” 判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画。从余弦定理及其推论可以看出, 三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.

思考

勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系, 余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系. 你能说说这两个定理之间的关系吗?

答

如果 $△ A BC$ 中有一个角是直角, 例如, $C = 9 0^{\circ}$ , 这时 $cos C = 0$ . 由余弦定理可得 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , 这就是勾股定理. 由此可见, 余弦定理是勾股定理的推广, 而勾股定理是余弦定理的特例.

定义

一般地, 三角形的三个角 $A, B, C$ 和它们的对边 $a, b, c$ 叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 (solving a triangle).

例 5

在 $△ A BC$ 中, 已知 $b = 60 cm, c = 34 cm, A = 4 1^{\circ}$ , 解这个三角形（角度精确到 $1^{\circ}$ , 边长精确到 $1 cm$ ).

解:

由余弦定理, 得

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 6 0^{2} + 3 4^{2} - 2 \times 60 \times 34 \times cos 4 1^{\circ} \approx 1676.78,$

所以

$a \approx 41 (cm) .$

由余弦定理的推论, 得

$cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a} = \frac{3 4 ^{2} + 4 1 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2 \times 34 \times 41} = - \frac{763}{2788},$

利用计算器, 可得 $B \approx 10 6^{\circ}$ .
所以 $C = 18 0^{\circ} - (A + B) \approx 18 0^{\circ} - (4 1^{\circ} + 10 6^{\circ}) = 3 3^{\circ}$ .

例 6

在 $△ A BC$ 中, $a = 7, b = 8$ , 锐角 $C$ 满足 $sin C = \frac{3 3}{14}$ , 求 $B$ (精确到 $1^{\circ}$ ).

分析:

由条件可求 $cos C$ , 再利用余弦定理及其推论可求出 $B$ 的值.

解:

因为 $sin C = \frac{3 3}{14}$ , 且 $C$ 为锐角,
所以 $cos C = 1 - sin^{2} C = 1 - (\frac{3 3}{14})^{2} = \frac{13}{14}$ .

由余弦定理, 得

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 49 + 64 - 2 \times 7 \times 8 \times \frac{13}{14} = 9,$

所以 $c = 3$ .
进而 $cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a} = \frac{9 + 49 - 64}{2 \times 3 \times 7} = - \frac{1}{7}$ .
利用计算器, 可得

$B \approx 9 8^{\circ} .$

练习

(1) 在 $△ A BC$ 中, 已知 $b = 12.9 cm, c = 15.4 cm, A = 42. 3^{\circ}$ , 解这个三角形（角度精确到 $0. 1^{\circ}$ ,边长精确到 $0.1 cm$ );
(2) 在 $△ A BC$ 中, 已知 $a = 5, b = 2, C = \frac{π}{3}$ , 求 $c$ .

在 $△ A BC$ 中, 已知 $a = 2, b = 2, c = 3 + 1$ , 解这个三角形.

在 $△ A BC$ 中, 已知 $b = 5, c = 2$ , 锐角 $A$ 满足 $sin A = \frac{231}{20}$ , 求 $C$ (精确到 $1^{\circ}$ ).

2. 正弦定理

探究

余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式. 如果已知两角和一边, 是否也有相应的直接解三角形的公式呢?

答

在初中, 我们得到了三角形中等边对等角的结论. 实际上, 三角形中还有大边对大角, 小边对小角的边角关系. 从量化的角度看, 可以将这个边、角关系转化为:

在 $△ A BC$ 中, 设 $A$ 的对边为 $a, B$ 的对边为 $b$ , 求 $A, B, a, b$ 之间的定量关系.

如果得出了这个定量关系, 那么就可以直接解决 “在 $△ A BC$ 中, 已知 $A, B, a$ , 求 $b "$ 的问题.

我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手. 根据锐角三角函数, 在 Rt $△ A BC$ 中（如图 6.4-9）, 有

$sin A sin B = \frac{a}{c}, = \frac{b}{c},$

显然, 上述两个关系式在一般三角形中不成立. 观察发现, 它们有一个共同元素 $c$ , 利用它把两个式子联系起来, 可得

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = c .$

又因为 $sin C = sin 9 0^{\circ} = 1$ , 所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式, 即

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} .$

对于锐角三角形和钝角三角形, 以上关系式是否仍然成立?

因为涉及三角形的边、角关系, 所以仍然采用向量方法来研究.

我们希望获得 $△ A BC$ 中的边 $a, b, c$ 与它们所对角 $A, B, C$ 的正弦之间的关系式.在向量运算中, 两个向量的数量积与长度、角度有关, 这就启示我们可以用向量的数量积来探究.

思考

向量的数量积运算中出现了角的余弦, 而我们需要的是角的正弦. 如何实现转化?

答

由诱导公式 $cos (\frac{π}{2} - α) = sin α$ 可知, 我们可以通过构造角之间的互余关系, 把边与角的余弦关系转化为正弦关系.

下面先研究锐角三角形的情形.

如图 6.4-10, 在锐角 $△ A BC$ 中, 过点 $A$ 作与 $A C$ 垂直的单位向量 $j$ , 则 $j$ 与 $A B$ 的夹角为 $\frac{π}{2} - A, j$ 与 $CB$ 的夹角为 $\frac{π}{2} - C$ .

因为 $A C + CB = A B$ , 所以

$j \cdot (A C + CB) = j \cdot A B .$

由分配律, 得

$j \cdot A C + j \cdot CB = j \cdot A B,$

即

$∣ j ∣∣ A C ∣ cos \frac{π}{2} + ∣ j ∣∣ CB ∣ cos (\frac{π}{2} - C) = ∣ j ∣∣ A B ∣ cos (\frac{π}{2} - A),$

也即

$a sin C = c sin A .$

所以

$\frac{a}{sin A} = \frac{c}{sin C} .$

同理, 过点 $C$ 作与 $CB$ 垂直的单位向量 $m$ , 可得

$\frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} .$

因此

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} .$

当 $△ A BC$ 是钝角三角形时, 不妨设 $A$ 为钝角 (如图 6.4-11).过点 $A$ 作与 $A C$ 垂直的单位向量 $j$ , 则 $j$ 与 $A B$ 的夹角为 $A - \frac{π}{2}$ , $j$ 与 $CB$ 的夹角为 $\frac{π}{2} - C$ .

仿照上述方法, 同样可得

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} .$

综上, 我们得到下面的定理:

正弦定理 (sine theorem)

在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} .$

这个公式表达形式的统一性、对称性, 不仅使结果更和谐优美, 而且更突显了三角形边角关系的本质.

正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系. 利用正弦定理, 不仅可以解决 “已知两角和一边, 解三角形” 的问题, 还可以解决 “已知两边和其中一边的对角, 解三角形” 的问题.

以上我们利用向量方法获得了正弦定理、余弦定理. 事实上, 探索和证明这两个定理的方法很多, 有些方法甚至比上述方法更加简洁. 你还能想到其他方法吗?

例 7

在 $△ A BC$ 中, 已知 $A = 1 5^{\circ}, B = 4 5^{\circ}, c = 3 + 3$ , 解这个三角形.

解:

由三角形内角和定理, 得

$C = 18 0^{\circ} - (A + B) = 18 0^{\circ} - (1 5^{\circ} + 4 5^{\circ}) = 12 0^{\circ} .$

由正弦定理, 得

$a b = \frac{c sin A}{sin C} = \frac{( 3 + 3 ) sin 1 5 ^{\circ}}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{( 3 + 3 ) sin ( 4 5 ^{\circ} - 3 0 ^{\circ} )}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{( 3 + 3 ) ( sin 4 5 ^{\circ} cos 3 0 ^{\circ} - cos 4 5 ^{\circ} sin 3 0 ^{\circ} )}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{( 3 + 3 ) ( \frac{2}{2} \times \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \times \frac{1}{2} )}{\frac{3}{2}} = 2, = \frac{c sin B}{sin C} = \frac{( 3 + 3 ) sin 4 5 ^{\circ}}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{( 3 + 3 ) \times \frac{2}{2}}{\frac{3}{2}} = 6 + 2 .$

例 8

在 $△ A BC$ 中, 已知 $B = 3 0^{\circ}, b = 2, c = 2$ , 解这个三角形.

分析:

这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题, 可以利用正弦定理.

解:

由正弦定理, 得

$sin C = \frac{c sin B}{b} = \frac{2 sin 3 0 ^{\circ}}{2} = \frac{2}{2} .$

因为 $c > b, B = 3 0^{\circ}$ ,
所以 $3 0^{\circ} < C < 18 0^{\circ}$ .
于是 $C = 4 5^{\circ}$ , 或 $C = 13 5^{\circ}$ .
(1) 当 $C = 4 5^{\circ}$ 时, $A = 10 5^{\circ}$ .
此时

$a = \frac{b sin A}{sin B} = \frac{2 sin 10 5 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2 sin ( 6 0 ^{\circ} + 4 5 ^{\circ} )}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2 ( sin 6 0 ^{\circ} cos 4 5 ^{\circ} + cos 6 0 ^{\circ} sin 4 5 ^{\circ} )}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2 ( \frac{3}{2} \times \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{2} )}{\frac{1}{2}} = 3 + 1.$

(2) 当 $C = 13 5^{\circ}$ 时， $A = 1 5^{\circ}$ .
此时

$a = \frac{b sin A}{sin B} = \frac{2 sin 1 5 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2 sin ( 4 5 ^{\circ} - 3 0 ^{\circ} )}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2 ( sin 4 5 ^{\circ} cos 3 0 ^{\circ} - cos 4 5 ^{\circ} sin 3 0 ^{\circ} )}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2 \times ( \frac{2}{2} \times \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \times \frac{1}{2} )}{\frac{1}{2}} = 3 - 1.$

思考

为什么角 $C$ 有两个值?

答

由三角函数的性质可知, 在区间 $(0, π)$ 内, 余弦函数单调递减, 所以利用余弦定理求角, 只有一解; 正弦函数在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 内单调递增, 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 内单调递减, 所以利用正弦定理求角, 可能有两解.

练习

完成下列解三角形问题 (角度精确到 $1^{\circ}$ , 边长精确到 $1 cm$ ):
(1) 在 $△ A BC$ 中, 已知 $A = 6 0^{\circ}, B = 4 5^{\circ}, c = 20 cm$ ;
(2) 在 $△ A BC$ 中, 已知 $a = 20 cm, b = 11 cm, B = 3 0^{\circ}$ .

(1) 在 $△ A BC$ 中, 已知 $a = 2, c = \frac{2 3}{3}, A = 12 0^{\circ}$ , 求 $b$ 和 $C$ ;
(2) 在 $△ A BC$ 中, 已知 $b = 2, A = 4 5^{\circ}, C = 7 5^{\circ}$ , 求 $c$ .

在 $△ A BC$ 中, 已知 $cos A = \frac{4}{5}, B = \frac{π}{3}, b = 3$ , 求 $a, c$ .

3. 余弦定理、正弦定理应用举例

在实践中, 我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题. 解决这类问题, 通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.

具体测量时, 我们常常遇到 “不能到达” 的困难, 这就需要设计恰当的测量方案. 下面我们通过几道例题来说明这种情况. 需要注意的是, 题中为什么要给出这些已知条件, 而不是其他的条件. 事实上, 这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案, 而且是这种情境与条件限制下的恰当方案.

例 9

如图 6.4-12, A, B 两点都在河的对岸（不可到达), 设计一种测量 $A, B$ 两点间距离的方法, 并求出 $A, B$ 间的距离.

分析:

若测量者在 $A, B$ 两点的对岸取定一点 $C$ (称作测量基点), 则在点 $C$ 处只能测出 $∠ A CB$ 的大小, 因而无法解决问题. 为此, 可以再取一点 $D$ , 测出线段 $C D$ 的长, 以及 $∠ A C D, ∠ C D B, ∠ B D A$ , 这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了.

解:

如图 6.4-13, 在 $A, B$ 两点的对岸选定两点 $C, D$ ,测得 $C D = a$ , 并且在 $C, D$ 两点分别测得 $∠ BC A = α$ , $∠ A C D = β, ∠ C D B = γ, ∠ B D A = δ$ .

在 $△ A D C$ 和 $△ B D C$ 中, 由正弦定理, 得

$A C = \frac{a sin ( γ + δ )}{sin [ 18 0 ^{\circ} - ( β + γ + δ ) ]} = \frac{a sin ( γ + δ )}{sin ( β + γ + δ )}, BC = \frac{a sin γ}{sin [ 18 0 ^{\circ} - ( α + β + γ ) ]} = \frac{a sin γ}{sin ( α + β + γ )} .$

于是, 在 $△ A BC$ 中, 由余弦定理可得 $A, B$ 两点间的距离

$A B = A C^{2} + B C^{2} - 2 A C \times BC cos α = \frac{a ^{2} sin ^{2} ( γ + δ )}{sin ^{2} ( β + γ + δ )} + \frac{a ^{2} sin ^{2} γ}{sin ^{2} ( α + β + γ )} - \frac{2 a ^{2} sin ( γ + δ ) sin γ cos α}{sin ( β + γ + δ ) sin ( α + β + γ )} .$

思考

在上述测量方案下, 还有其他计算 $A, B$ 两点间距离的方法吗?

定义

在测量过程中, 我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线, 如例 9 中的 $C D$ .

为使测量具有较高的精确度, 应根据实际需要选取合适的基线长度.
一般来说, 基线越长, 测量的精确度越高.

例子

如图 6.4-14, 早在 1752 年, 两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离, 利用几乎位于同一经线上的柏林 (点 $A$ )与好望角 (点 $B$ ) 为基点, 测量出 $α, β$ 的大小, 并计算出两地之间的距离 $A B$ , 进而算出了地球与月球之间的距离约为 $385400 km$ . 我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴. 当然, 随着科学技术的发展, 人们会不断发现更加先进的测量距离的方法.

下面看一个测量高度的问题.

例 10

如图 6.4-15, $A B$ 是底部 $B$ 不可到达的一座建筑物, $A$ 为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度 $A B$ 的方法, 并求出建筑物的高度.

分析:

由锐角三角函数知识可知, 只要获得一点 $C$ (点 $C$ 到地面的距离可求) 到建筑物的顶部 $A$ 的距离 $C A$ , 并测出由点 $C$ 观察 $A$ 的仰角, 就可以计算出建筑物的高度. 为此, 应再选取一点 $D$ , 构造另一个含有 $C A$ 的 $△ A C D$ , 并进行相关的长度和角度的测量, 然后通过解三角形的方法计算出 $C A$ .

解:

如图 6.4-15, 选择一条水平基线 $H G$ , 使 $H, G$ , $B$ 三点在同一条直线上. 在 $G, H$ 两点用测角仪器测得 $A$ 的仰角分别是 $α, β, C D = a$ , 测角仪器的高是 $h$ . 那么, 在 $△ A C D$ 中, 由正弦定理, 得

$A C = \frac{a sin β}{sin ( α - β )} .$

所以, 这座建筑物的高度为

$A B = A E + h = A C sin α + h = \frac{a sin α sin β}{sin ( α - β )} + h .$

思考

在实际操作时, 使 $H, G, B$ 三点共线不是一件容易的事情. 你有什么替代方案吗?

下面再来看一个测量角度的问题.

例 11

位于某海域 $A$ 处的甲船获悉, 在其正东方向相距 $20 n$ mile 的 $B$ 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即前往救援, 同时把消息告知位于甲船南偏西 $3 0^{\circ}$ , 且与甲船相距 $7 n$ mile 的 $C$ 处的乙船. 那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线) 的方向是北偏东多少度（精确到 $1^{\circ}$ )? 需要航行的距离是多少海里（精确到 $1 n$ mile)?

分析：

首先应根据“正东方向”“南偏西 $3 0^{\circ}$ ”“目标方向线”等信息, 画出示意图.

解:

根据题意, 画出示意图 (图 6.4-16).

由余弦定理, 得

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \cdot A C \cdot cos 12 0^{\circ} = 2 0^{2} + 7^{2} - 2 \times 20 \times 7 \times (- \frac{1}{2}) = 589.$

于是

$BC \approx 24 (n mile).$

由正弦定理, 得

$\frac{sin C}{20} = \frac{sin 12 0 ^{\circ}}{24},$

于是

$sin C = \frac{20 \times \frac{3}{2}}{24} = \frac{5 3}{12} .$

由于 $0^{\circ} < C < 9 0^{\circ}$ ,
所以 $C \approx 4 6^{\circ}$ .
因此, 乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 $4 6^{\circ} + 3 0^{\circ} = 7 6^{\circ}$ , 大约需要航行 $24 n$ mile.

由于题目中没有给出图形, 因此正确理解题意、画出示意图, 是解决问题的重要环节.

练习

如图, 一艘船向正北航行, 航行速度的大小为 $32.2 n$ mile $/ h$ , 在 $A$ 处看灯塔 $S$ 在船的北偏东 $2 0^{\circ}$ 的方向上. $30 min$ 后, 船航行到 $B$ 处, 在 $B$ 处看灯塔在船的北偏东 $6 5^{\circ}$ 的方向上. 已知距离此灯塔 $6.5 n$ mile 以外的海区为航行安全区域, 这艘船可以继续沿正北方向航行吗?

如图, 在山脚 $A$ 测得山顶 $P$ 的仰角为 $α$ , 沿倾斜角为 $β$ 的斜坡向上走 $a m$ 到达 $B$ 处, 在 $B$ 处测得山顶 $P$ 的仰角为 $γ$ . 求证: 山高 $h = \frac{a sin α sin ( γ - β )}{sin ( γ - α )}$ .

如图, 一艘海轮从 $A$ 出发, 沿北偏东 $7 5^{\circ}$ 的方向航行 $67.5 n$ mile 后到达海岛 $B$ , 然后从 $B$ 出发, 沿北偏东 $3 2^{\circ}$ 的方向航行 $54 n$ mile 后到达海岛 $C$ . 如果下次航行直接从 $A$ 出发到达 $C$ , 那么这艘船应该沿怎样的方向航行, 需要航行的距离是多少? (角度精确到 $0. 1^{\circ}$ , 距离精确到 $0.01 n$ mile)

习题 6.4

复习巩固

若非零向量 $A B$ 与 $A C$ 满足 $(\frac{A B}{∣ A B ∣} + \frac{A C}{∣ A C ∣}) \cdot BC = 0$ , 且 $\frac{A B}{∣ A B ∣} \cdot \frac{A C}{∣ A C ∣} = \frac{1}{2}$ , 则 $△ A BC$ 为 ( ).
(A) 三边均不相等的三角形
(B) 直角三角形
(C) 底边和腰不相等的等腰三角形
(D) 等边三角形

已知 $O, N, P$ 在 $△ A BC$ 所在平面内, 满足 $∣ O A ∣ = ∣ OB ∣ =$ $∣ OC ∣, N A + NB + NC = 0$ , 且 $P A \cdot PB = PB \cdot PC = PC \cdot P A$ , 则点 $O, N, P$ 依次是 $△ A BC$ 的 ( ).
(A) 重心，外心，垂心
(B) 重心，外心，内心
(C) 外心，重心，垂心
(D) 外心，重心，内心

定义

垂心是三角形三条高所在直线的交点.

用向量法证明: 直径所对的圆周角是直角.

两个粒子 $A, B$ 从同一发射源发射出来, 在某一时刻, 它们的位移分别为 $s_{A} = (4, 3), s_{B} =$ $(2, 10)$ .
(1) 写出此时粒子 $B$ 相对粒子 $A$ 的位移 $s$ ;
(2) 计算 $s$ 在 $s_{A}$ 上的投影向量.

一个人在静水中游泳时, 速度的大小为 $23 km / h$ . 当他在水流速度的大小为 $2 km / h$ 的河中游泳时,
(1) 如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到 $1^{\circ}$ )? 实际前进速度的大小为多少?
(2) 他必须朝哪个方向游, 才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到 $1^{\circ}$ )? 实际前进速度的大小为多少?

在 $△ A BC$ 中, 分别根据下列条件解三角形（角度精确到 $1^{\circ}$ , 边长精确到 $1 cm$ ):
(1) $a = 49 cm, b = 26 cm, C = 10 7^{\circ}$ ;
(2) $a = 9 cm, b = 10 cm, c = 15 cm$ .

在 $△ A BC$ 中, 分别根据下列条件解三角形 (角度精确到 $1^{\circ}$ , 边长精确到 $1 cm$ ):
(1) $A = 7 0^{\circ}, C = 3 0^{\circ}, c = 20 cm$ ;
(2) $b = 26 cm, c = 15 cm, C = 2 3^{\circ}$ .

如图, 测量河对岸的塔高 $A B$ 时, 可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ . 现测得 $∠ BC D = α, ∠ B D C = β$ , $C D = s$ , 在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $θ$ , 求塔高 $A B$ .

在气象台 $A$ 的正西方向 $300 km$ 处有一台风中心, 它正向东北方向移动, 移动速度的大小为 $40 km / h$ , 距台风中心 250 $km$ 以内的地区都将受到影响. 若台风中心的这种移动趋势不变, 气象台所在地是否会受到台风的影响? 如果会, 大约多长时间后受到影响? 持续时间有多长（精确到 $1 min$ )?

10.

你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗?

综合运用

11.

已知对任意平面向量 $A B = (x, y)$ , 把 $A B$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $A P =$ $(x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)$ , 叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ . 已知平面内点 $A (1, 2)$ , 点 $B (1 + 2, 2 - 22)$ , 把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到点 $P$ , 求点 $P$ 的坐标.

12.

如图, 在 $△ A BC$ 中, 已知 $A B = 2, A C = 5, ∠ B A C = 6 0^{\circ}, BC$ , $A C$ 边上的两条中线 $A M, BN$ 相交于点 $P$ , 求 $∠ MPN$ 的余弦值.

13.

一条河的两岸平行, 河的宽度 $d = 500 m$ , 一艘船从河岸边的 $A$ 处出发到河对岸. 已知船在静水中的速度 $v_{1}$ 的大小为 $∣ v_{1} ∣ = 10 km / h$ , 水流速度 $v_{2}$ 的大小为 $∣ v_{2} ∣ = 2 km / h$ . 如果要使船行驶的时间最短, 那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论:
(1) 当船逆流行驶，与水流成钝角时;
(2) 当船顺流行驶，与水流成锐角时;
(3) 当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间, 判断是否当船垂直于对岸行驶, 与水流成直角时所用时间最短.

14.

一条东西方向的河流两岸平行, 河宽 $250 m$ , 河水的速度为向东 $23 km / h$ . 一艘小货船准备从河的这一边的码头 $A$ 处出发, 航行到位于河对岸 $B$ ( $A B$ 与河的方向垂直)的正西方向并且与 $B$ 相距 $2503 m$ 的码头 $C$ 处卸货. 若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 $6 km / h$ , 则当小货船的航程最短时, 求合速度的方向, 并求此时小货船航行速度的大小.

15.

$△ A BC$ 的三边分别为 $a, b, c$ , 边 $BC, C A, A B$ 上的中线分别记为 $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ , 利用余弦定理证明

$m_{a} = \frac{1}{2} 2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}, m_{b} = \frac{1}{2} 2 (a^{2} + c^{2}) - b^{2}, m_{c} = \frac{1}{2} 2 (a^{2} + b^{2}) - c^{2} .$

16.

在 $△ A BC$ 中, 求证: $c (a cos B - b cos A) = a^{2} - b^{2}$ .

17.

证明：设三角形的外接圆的半径是 $R$ , 则 $a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C$ .

18.

利用第 10 题的结论, 证明三角形的面积公式

$S = \frac{1}{2} a^{2} \frac{sin B sin C}{sin A} .$

拓广探索

19.

如图, 在平行四边形 $A BC D$ 中, 点 $E, F$ 分别是 $A D, D C$ 边的中点, $BE, BF$ 分别与 $A C$ 交于 $R, T$ 两点, 你能发现 $A R$ , $RT, TC$ 之间的关系吗? 用向量方法证明你的结论.

20.

已知 $△ A BC$ 的三个角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,设 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ , 求证：
(1) 三角形的面积 $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ ;
(2) 若 $r$ 为三角形的内切圆半径, 则

$r = \frac{( p - a ) ( p - b ) ( p - c )}{p};$

(3) 把边 $BC, A C, A B$ 上的高分别记为 $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ , 则

$h_{a} h_{b} h_{c} = \frac{2}{a} p (p - a) (p - b) (p - c), = \frac{2}{b} p (p - a) (p - b) (p - c), = \frac{2}{c} p (p - a) (p - b) (p - c) .$

21.

如图, 为了测量两山顶 $M, N$ 间的距离, 飞机沿水平方向在 $A, B$ 两点进行测量, $A, B$ , $M, N$ 在同一个铅垂平面内. 请设计一个测量方案, 包括:
(1) 指出要测量的数据（用字母表示, 并标示在图中);
(2) 用文字和公式写出计算 $M, N$ 间的距离的步骤.

22.

已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A BC$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边, 且 $a cos C + 3 a sin C - b - c = 0$ .
(1) 求 $A$ ;
(2) 若 $a = 2$ , 则 $△ A BC$ 的面积为 $3$ , 求 $b, c$ .

23.

根据实际需要, 利用本节所学的知识完成一次有关测量的实习作业, 并写出实习报告（包括测量问题、测量工具、测得数据和计算过程及结论).

阅读与思考

海伦和秦九韶

古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期, 数学的应用性得到了很大的发展,其突出的一点就是三角术的发展. 三角术是人们为了建立定量的天文学, 以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时, 计算日历、航海和研究地理而产生的.

在解三角形的问题中, 一个比较困难的问题是如何由三角形的三边 $a, b, c$ 直接求出三角形的面积. 据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了公式

$S = p (p - a) (p - b) (p - c),$

这里 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ .

但现在人们常常以古希腊的数学家海伦 (Heron, 约 1 世纪) 的名字命名这个公式, 因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中, 公式的证明在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中可以找到. 海伦公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题, 它具有轮换对称的特点, 形式很美, 大家很容易记住它.

海伦是古希腊的数学家, 他还是一位优秀的测绘工程师. 他的代表作是《度量术》, 此书讨论平面图形的面积、立体图形的体积, 以及把图形分成几部分,使所分成的各部分的面积或体积的比等于给定的比. 《测量仪器》是他的另一本代表作, 其中描述的一种仪器, 功能相当于现代的经纬仪. 在此书中他还讨论了许多测量问题, 如怎样挖遂道, 从山的两侧开始, 找准方向, 使隧道准确会合; 确定两点间高度的差; 测量可望不可即的两点之间的距离; 还有各种高度和距离的测量问题.

我国南宋著名数学家秦九韶（约 1202-1261）也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式, 他把这种方法称为 “三斜求积”. 在他的著作《数书九章》卷五 “田域类”里有一个题目: “问有沙田一段, 有三斜. 其小斜一十三里,中斜一十四里, 大斜一十五里. 里法三百步. 欲知为田几何. ”这道题实际上就是已知三角形的三边长, 求三角形的面积. 《数书九章》中的求法是: “以小斜幂并大斜幂减中斜幂, 余半之, 自乘于上. 以小斜幂乘大斜幂减上, 余四约之, 为实.一为从隅, 开平方得积.” 如果把以上这段文字写成公式, 就是

$S = \frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - (\frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2})^{2}]$

秦九韶独立推出了 “三斜求积”公式. 它虽然与海伦公式形式上不一样, 但两者完全等价, 从中可以充分说明我国古代学者已具有很高的数学水平.

秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一, 他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就, 尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当完备的“正负开方术”和 “大衍求一术”，对数学发展产生了广泛的影响. 秦九韶是一位既重视理论又重视实践, 既善于继承又勇于创新的数学家, 他被国外科学史家赞誉为 “他那个民族, 那个时代, 并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.