4.7 数学建模

1. 观察实际情景, 发现和提出问题

中国茶文化博大精深. 茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关. 经验表明, 某种绿茶用 $85^{\circ }\mathrm{C}$ 的水泡制, 再等到茶水温度降至 $60{}^{\circ }\mathrm{C}$ 时饮用, 可以产生最佳口感. 那么在 $25^{\circ }\mathrm{C}$室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?

显然, 如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型, 那么就能容易地解决这个问题.为此, 需要收集一些茶水温度随时间变化的数据, 再利用这些数据建立适当的函数模型.

2. 收集数据

我们可以利用秒表、温度计等工具 (若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好)，收集茶水温度随时间变化的数据.

例如, 某研究人员每隔 $1\min$ 测量一次茶水温度, 得到表 1 的一组数据.

3. 分析数据

茶水温度是时间的函数, 但没有现成的函数模型. 为此, 可以先画出散点图, 利用图象直观分析这组数据的变化规律, 从而帮助我们选择函数类型.

设茶水温度从 $85^{\circ }\mathrm{C}$ 开始, 经过 $x\min$ 后的温度为 $y^{\circ }\mathrm{C}$. 根据表 1 , 画散点图 (图 1).

观察散点图的分布状况, 并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实, 可选择函数 $y=k{a}^x+25(k\in \mathbf{R},0<a<1,x⩾0)$ 来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律.

4. 建立模型

根据实际情况可知, 当 $x=0$ 时, $y=85$, 可得 $k=60$.

为了求出温度的衰减比例 $a$, 可从第 $2\min$ 的温度数据开始, 计算每分 $(y-25)$ 的值与上一分 $(y-25)$ 值的比值, 列出表 2 .

计算各比值的平均值, 得

$$\begin{array}{rl}a& =\frac{1}{5}(0.9032+0.9181+0.9284+0.9351+0.9285)\\ & =\mathrm{0.9227.}\end{array}$$

我们把这个平均值作为衰减比例, 就得到一个函数模型

$$y=60\times 0.9227^x+25(x⩾0).\text{\hspace{1em}(1)}$$

5. 检验模型

将已知数据代人 (1) 式, 或画出函数 (1) 的图象 (图 2), 可以发现, 这个函数模型与实际数据基本吻合, 这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律.

6. 求解问题

将 $y=60$ 代人 $y=60\times 0.9227^x+25$, 得

$$60\times 0.9227^x+25=60.$$

解得

$$x={\log }_{0.9227}\frac{7}{12}.$$

由信息技术得

$$x\approx \mathrm{6.6997.}$$

所以, 泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是 $7\min$.

1. 组建合作团队

数学建模活动需要团队协作. 首先, 在班级中组成 $3\sim 5$ 人的研究小组, 每位同学参加其中一个小组. 在小组内, 要确定一个课题负责人, 使每位成员都有明确的分工. 拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册, 然后在班里进行一次开题报告.

2. 开展研究活动

根据开题报告所规划的研究步骤, 通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程, 完成课题研究. 在研究过程中, 可以借助信息技术解决问题.

3. 撰写研究报告

以小组为单位, 撰写一份研究报告.

4. 交流展示

(1) 对同一个课题, 先由 $3\sim 4$ 个小组进行小组交流, 每个小组都展示自己的研究成果, 相互借鉴、取长补短. 在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告. 选定代表, 制作向全班汇报的演示文稿.
(2) 与老师一起进行全班研究成果展示与交流, 在各组代表作研究报告的基础上, 通过质疑、辩论、评价, 总结成果, 分享体会, 分析不足. 开展自我评价、同学评价和老师评价, 完成本次数学建模活动.

建立函数模型解决实际问题

_ _ _ 年 _ _ _ 班
完成时间: _ _ _

1. 课题名称
2. 课题组成员及分工
3. 选题的意义
4. 研究计划 (包括对选题的分析, 解决问题的思路等)
5. 研究过程 (收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程, 以及过程中出现的难点及解决方案等)
6. 研究结果
7. 收获与体会
8. 对此研究的评价 (由评价小组或老师填写)