5.6 函数 $y = A sin (ω x + φ)$

2024-04-29 22:09:20 新建

我们知道, 单位圆上的点, 以 $(1, 0)$ 为起点, 以单位速度按逆时针方向运动, 其运动规律可用三角函数加以刻画. 对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢? 下面先看一个实际问题.

5.6.1 匀速圆周运动的数学模型

问题

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具, 因其经济又环保, 至今还在农业生产中得到使用 (图 5.6-1). 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图 5.6-2）.

假定在水流量稳定的情况下, 筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗?

答

因筒车上盛水筒的运动具有周期性, 可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律.

思考

与盛水筒运动相关的量有哪些? 它们之间有怎样的关系?

答

如图 5.6-3, 将筒车抽象为一个几何图形, 设经过 $t s$ 后, 盛水筒 $M$ 从点 $P_{0}$ 运动到点 $P$ . 由筒车的工作原理可知, 这个盛水筒距离水面的高度 $H$ , 由以下量所决定: 筒车转轮的中心 $O$ 到水面的距离 $h$ , 筒车的半径 $r$ , 筒车转动的角速度 $ω$ , 盛水筒的初始位置 $P_{0}$ 以及所经过的时间 $t$ .

下面我们分析这些量的相互关系, 进而建立盛水筒 $M$ 运动的数学模型.

如图 5.6-3, 以 $O$ 为原点, 以与水平面平行的直线为 $x$ 轴建立直角坐标系. 设 $t = 0$ 时, 盛水筒 $M$ 位于点 $P_{0}$ , 以 $O x$ 为始边, $O P_{0}$ 为终边的角为 $φ$ , 经过 $t s$ 后运动到点 $P (x, y)$ .于是, 以 $O x$ 为始边, $OP$ 为终边的角为 $ω t + φ$ , 并且有

$y = r sin (ω t + φ) . (\overset{◯}{1})$

所以, 盛水筒 $M$ 距离水面的高度 $H$ 与时间 $t$ 的关系是

$H = r sin (ω t + φ) + h . (\overset{◯}{2})$

函数 $\overset{◯}{2}$ 就是要建立的数学模型, 只要将它的性质研究清楚, 就能把握盛水筒的运动规律. 由于 $h$ 是常量, 我们可以只研究函数 $\overset{◯}{1}$ 的性质.

5.6.2 函数 $y = A sin (ω x + φ)$ 的图象

上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如 $y = A sin (ω x + φ)$ (其中 $A > 0, ω > 0$ )的函数. 显然, 这个函数由参数 $A, ω, φ$ 所确定. 因此, 只要了解这些参数的意义, 知道它们的变化对函数图象的影响, 就能把握这个函数的性质.

思考

从解析式看, 函数 $y = sin x$ 就是函数 $y = A sin (ω x + φ)$ 在 $A = 1, ω = 1, φ = 0$ 时的特殊情形.
(1) 能否借助我们熟悉的函数 $y = sin x$ 的图象与性质研究参数 $A, ω, φ$ 对函数 $y = A sin (ω x + φ)$ 的影响?
(2) 函数 $y = A sin (ω x + φ)$ 含有三个参数, 你认为应按怎样的思路进行研究?

1. 探索 $φ$ 对 $y = sin (x + φ)$ 图象的影响

为了更加直观地观察参数 $φ$ 对函数图象的影响, 下面借助信息技术做一个数学实验.
如图 5.6-4, 取 $A = 1, ω = 1$ , 动点 $M$ 在单位圆 $O_{1}$ 上以单位角速度按逆时针方向运动.

如果动点 $M$ 以 $Q_{0}$ 为起点 (此时 $φ = 0)$ , 经过 $x s$ 后运动到点 $P$ , 那么点 $P$ 的纵坐标 $y$ 就等于 $sin x$ . 以 $(x, y)$ 为坐标描点, 可得正弦函数 $y = sin x$ 的图象.

探究

在单位圆上拖动起点 $Q_{0}$ , 使点 $Q_{0}$ 绕点 $O_{1}$ 旋转 $\frac{π}{6}$ 到 $Q_{1}$ , 你发现图象有什么变化?
如果使点 $Q_{0}$ 绕点 $O_{1}$ 旋转 $- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, - \frac{π}{3}$ , 或者旋转一个任意角 $φ$ 呢?

当起点位于 $Q_{1}$ 时, $φ = \frac{π}{6}$ , 可得函数 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的图象.

进一步, 在单位圆上, 设两个动点分别以 $Q_{0}, Q_{1}$ 为起点同时开始运动. 如果以 $Q_{0}$ 为起点的动点到达圆周上点 $P$ 的时间为 $x s$ , 那么以 $Q_{1}$ 为起点的动点相继到达点 $P$ 的时间是 $(x - \frac{π}{6}) s$ . 这个规律反映在图象上就是: 如果 $F (x, y)$ 是函数 $y = sin x$ 图象上的一点, 那么 $G (x - \frac{π}{6}, y)$ 就是函数 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 图象上的点, 如图 5.6-4 所示. 这说明, 把正弦曲线 $y = sin x$ 上的所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度, 就得到 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的图象.

思考

分别说一说旋转 $- \frac{π}{6}$ , $\frac{π}{3}, - \frac{π}{3}$ 时的情况.

一般地, 当动点 $M$ 的起点位置 $Q$ 所对应的角为 $φ$ 时, 对应的函数是 $y = sin (x + φ)$ $(φ \neq = 0)$ , 把正弦曲线上的所有点向左（当 $φ > 0$ 时）或向右（当 $φ < 0$ 时）平移 $∣ φ ∣$ 个单位长度, 就得到函数 $y = sin (x + φ)$ 的图象.

2. 探索 $ω (ω > 0)$ 对 $y = sin (ω x + φ)$ 图象的影响

下面, 仍然通过数学实验来探索. 如图 5.6-5, 取圆的半径 $A = 1$ . 为了研究方便, 不妨令 $φ = \frac{π}{6}$ . 当 $ω = 1$ 时得到 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的图象.

探究

取 $ω = 2$ , 图象有什么变化? 取 $ω = \frac{1}{2}$ 呢? 取 $ω = 3, ω = \frac{1}{3}$ , 图象又有什么变化?当 $ω$ 取任意正数呢?

取 $ω = 2$ 时, 得到函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象.

进一步, 在单位圆上, 设以 $Q_{1}$ 为起点的动点, 当 $ω = 1$ 时到达点 $P$ 的时间为 $x_{1} s$ ,当 $ω = 2$ 时到达点 $P$ 的时间为 $x_{2} s$ . 因为 $ω = 2$ 时动点的转速是 $ω = 1$ 时的 2 倍, 所以 $x_{2} =$ $\frac{1}{2} x_{1}$ . 这样, 设 $G (x, y)$ 是函数 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 图象上的一点, 那么 $K (\frac{1}{2} x, y)$ 就是函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上的相应点, 如图 5.6-5 所示. 这说明, 把 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变), 就得到 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象. $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的周期为 $π$ , 是 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的周期的 $\frac{1}{2}$ .

同理, 当 $ω = \frac{1}{2}$ 时, 动点的转速是 $ω = 1$ 时的 $\frac{1}{2}$ , 以 $Q_{1}$ 为起点, 到达点 $P$ 的时间是 $ω = 1$ 时的 2 倍. 这样, 把 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变), 就得到 $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ 的图象. $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ 的周期为 $4 π$ , 是 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的周期的 2 倍.

思考

说一说 $ω = 3, ω = \frac{1}{3}$ 时的情况.

一般地, 函数 $y = sin (ω x + φ)$ 的周期是 $\frac{2 π}{ω}$ , 把 $y = sin (x + φ)$ 图象上所有点的横坐标缩短(当 $ω > 1$ 时)或伸长(当 $0 < ω < 1$ 时)到原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍(纵坐标不变), 就得到 $y = sin (ω x + φ$ )的图象.

3. 探索 $A (A > 0)$ 对 $y = A sin (ω x + φ)$ 图象的影响

下面通过数学实验探索 $A$ 对函数图象的影响. 为了研究方便, 不妨令 $ω = 2, φ = \frac{π}{6}$ .当 $A = 1$ 时, 如图 5.6-6, 可得 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象.

探究

改变 $A$ 的取值, 使 $A$ 取 $2, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{3}$ 等, 你发现图象有什么变化? 当 $A$ 取任意正数呢?

答

当 $A = 2$ 时, 得到函数 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象.

进一步, 设射线 $O_{1} Q_{1}$ 与以 $O_{1}$ 为圆心、 2 为半径的圆交于 $T_{1}$ . 如果单位圆上以 $Q_{1}$ 为起点的动点, 以 $ω = 2$ 的转速经过 $x s$ 到达圆周上点 $P$ , 那么点 $P$ 的纵坐标是 $sin (2 x + \frac{π}{6})$ ;相应地, 点 $T_{1}$ 在以 $O_{1}$ 为圆心、 2 为半径的圆上运动到点 $T$ , 点 $T$ 的纵坐标是 $2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ .这样, 设 $K (x, y)$ 是函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上的一点, 那么点 $N (x, 2 y)$ 就是函数 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上的相应点, 如图 5.6-6 所示. 这说明, 把 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变), 就得到 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象.

同理, 把 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ (横坐标不变), 就得到 $y = \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象.

思考

说一说 $A = 3, A = \frac{1}{3}$ 时的情况.

一般地, 函数 $y = A sin (ω x + φ)$ 的图象, 可以看作是把 $y = sin (ω x + φ)$ 图象上所有点的纵坐标伸长 (当 $A > 1$ 时)或缩短（当 $0 < A < 1$ 时）到原来的 $A$ 倍（横坐标不变）而得到. 从而, 函数 $y = A sin (ω x + φ)$ 的值域是 $[- A, A]$ ,最大值是 $A$ , 最小值是 $- A$ .

思考

你能总结一下从正弦函数图象出发, 通过图象变换得到 $y = A sin (ω x + φ) (A > 0$ , $ω > 0)$ 图象的过程与方法吗?

一般地, 函数 $y = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)$ 的图象, 可以用下面的方法得到: 先画出函数 $y = sin x$ 的图象; 再把正弦曲线向左（或右）平移 $∣ φ ∣$ 个单位长度, 得到函数 $y = sin (x + φ)$ 的图象; 然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍 (纵坐标不变), 得到函数 $y = sin (ω x + φ)$ 的图象; 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 $A$ 倍 (横坐标不变),这时的曲线就是函数 $y = A sin (ω x + φ)$ 的图象.

这一过程的步骤如下:

例子

补全步骤 2 和 3 的函数及图象.

从上述步骤可以清楚地看到, 参数 $A, ω, φ$ 是如何对函数图像产生影响的.

例 1

画出函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的简图.

解：

先画出函数 $y = sin x$ 的图象; 再把正弦曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度, 得到函数 $y = sin (x - \frac{π}{6})$ 的图像; 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{3}$ , 得到函数 $y =$ $sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的图象; 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 2 倍, 这时的曲线就是函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的图象, 如图 5.6-7 所示.

下面用 “五点法” 画函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 在一个周期 $(T = \frac{2 π}{3})$ 内的图象.

令 $X = 3 x - \frac{π}{6}$ , 则 $x = \frac{1}{3} (X + \frac{π}{6})$ . 列表（表 5.6-1）,描点画图 (图 5.6-8).

例 2

摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施, 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转, 可以从高处俯瞰四周景色. 如图 5.6-9, 某摩天轮最高点距离地面高度为 $120 m$ , 转盘直径为 $110 m$ , 设置有 48 个座舱, 开启后按逆时针方向匀速旋转, 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱, 转一周大约需要 $30 min$ .
(1) 游客甲坐上摩天轮的座舱, 开始转动 $t min$ 后距离地面的高度为 $H m$ , 求在转动一周的过程中, $H$ 关于 $t$ 的函数解析式;
(2) 求游客甲在开始转动 $5 min$ 后距离地面的高度;
(3) 若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里, 在运行一周的过程中, 求两人距离地面的高度差 $h$ （单位: $m$ ) 关于 $t$ 的函数解析式, 并求高度差的最大值（精确到 0.1 ).

分析：

摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转. 在旋转过程中, 游客距离地面的高度 $H$ 呈现周而复始的变化, 因此可以考虑用三角函数来刻画.

解：

如图 5.6-10, 设座舱距离地面最近的位置为点 $P$ ,以轴心 $O$ 为原点, 与地面平行的直线为 $x$ 轴建立直角坐标系.

(1) 设 $t = 0 min$ 时, 游客甲位于点 $P (0, - 55)$ , 以 $OP$ 为终边的角为 $- \frac{π}{2}$ ; 根据摩天轮转一周大约需要 $30 min$ , 可知座舱转动的角速度约为 $\frac{π}{15} rad / min$ , 由题意可得

$H = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65, 0 ⩽ t ⩽ 30.$

(2) 当 $t = 5$ 时,

$H = 55 sin (\frac{π}{15} \times 5 - \frac{π}{2}) + 65 = 37.5.$

所以, 游客甲在开始转动 $5 min$ 后距离地面的高度约为 $37.5 m$ .
(3) 如图 5.6-10, 甲、乙两人的位置分别用点 $A, B$ 表示, 则 $∠ A OB = \frac{2 π}{48} = \frac{π}{24}$ . 经过 $t$ min后甲距离地面的高度为 $H_{1} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ , 点 $B$ 相对于点 $A$ 始终落后 $\frac{π}{24} rad$ , 此时乙距离地面的高度为 $H_{2} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{13 π}{24}) + 65$ . 则甲、乙距离地面的高度差

$h = ∣ H_{1} - H_{2} ∣ = 55 ∣ ∣ sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) - sin (\frac{π}{15} t - \frac{13 π}{24}) ∣ ∣ = 55 ∣ ∣ sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + sin (\frac{13 π}{24} - \frac{π}{15} t) ∣ ∣,$

利用 $sin θ + sin φ = 2 sin \frac{θ + φ}{2} cos \frac{θ - φ}{2}$ , 可得

$h = 110 ∣ ∣ sin \frac{π}{48} sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{48}) ∣ ∣, 0 ⩽ t ⩽ 30.$

当 $\frac{π}{15} t - \frac{π}{48} = \frac{π}{2}$ (或 $\frac{3 π}{2}$ ), 即 $t \approx 7.8$ (或 22.8 )时, $h$ 的最大值为 $110 sin \frac{π}{48} \approx 7.2$ .

所以, 甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为 $7.2 m$ .

练习

画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图, 并用信息技术检验:
(1) $y = \frac{1}{2} sin x$ ;
(2) $y = sin 3 x$ ;
(3) $y = sin (x - \frac{π}{3})$ ;
(4) $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{4})$ .

已知函数 $y = 3 sin (x + \frac{π}{5})$ 的图象为 $C$ .
(1) 为了得到函数 $y = 3 sin (x - \frac{π}{5})$ 的图象，只要把 $C$ 上所有的点 ( ).
(A) 向右平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度
(B) 向左平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度
(C) 向右平行移动 $\frac{2 π}{5}$ 个单位长度
(D) 向左平行移动 $\frac{2 π}{5}$ 个单位长度

(2) 为了得到函数 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{5})$ 的图象, 只要把 $C$ 上所有的点 ( ).
(A) 横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变
(B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ , 纵坐标不变
(C) 纵坐标伸长到原来的 2 倍, 横坐标不变
(D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ , 横坐标不变

(3) 为了得到函数 $y = 4 sin (x + \frac{π}{5})$ 的图象, 只要把 $C$ 上所有的点（）.
(A) 横坐标伸长到原来的 $\frac{4}{3}$ 倍, 纵坐标不变
(B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{3}{4}$ , 纵坐标不变
(C) 纵坐标伸长到原来的 $\frac{4}{3}$ 倍, 横坐标不变
(D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{3}{4}$ , 横坐标不变

函数 $y = \frac{2}{3} sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$ 的图象与正弦曲线有什么关系?

函数 $y = sin (x + \frac{π}{12}), x \in [0, + \infty)$ 的图象与正弦曲线有什么关系?

习题 5.6

复习巩固

选择题
(1) 为了得到函数 $y = cos (x + \frac{1}{3})$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点 ( ).
(A) 向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度
(B) 向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度
(C) 向左平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度
(D) 向右平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度

(2) 为了得到函数 $y = cos \frac{x}{5}$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）.
(A) 横坐标伸长到原来的 5 倍, 纵坐标不变
(B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ , 纵坐标不变
(C) 纵坐标伸长到原来的 5 倍, 横坐标不变
(D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ , 横坐标不变

(3) 为了得到函数 $y = \frac{1}{4} cos x$ 的图象, 只需把余弦曲线上所有的点（）.
(A) 横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐标不变
(B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ , 纵坐标不变
(C) 纵坐标伸长到原来的 4 倍, 横坐标不变
(D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ , 横坐标不变

画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图, 并用信息技术检验:
(1) $y = 4 sin \frac{1}{2} x$
(2) $y = \frac{1}{2} cos 3 x$
(3) $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{6})$
(4) $y = 2 cos (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$ .

说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到 (注意定义域):
(1) $y = 8 sin (\frac{x}{4} - \frac{π}{8}), x \in [0, + \infty)$ ;
(2) $y = \frac{1}{3} sin (3 x + \frac{π}{7}), x \in [0, + \infty)$ .

综合运用

函数 $y = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示, 此函数的解析式为 .

将函数 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 后得到函数 $y =$ $g (x)$ 的图象, 求 $y = g (x)$ 的解析式.

某时钟的秒针端点 $A$ 到中心点 $O$ 的距离为 $5 cm$ , 秒针绕点 $O$ 匀速旋转, 当时间 $t = 0$ 时, 点 $A$ 与钟面上标 12 的点 $B$ 重合.将 $A, B$ 两点间的距离 $d$ (单位: $cm$ ) 表示成 $t$ (单位: $s$ )的函数, 则 $d =$ , $t \in [0, 60]$ .

如图, 一个半径为 $3 m$ 的筒车按逆时针方向每分转 1.5 圈,筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度为 $2.2 m$ . 设筒车上的某个盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $d$ (单位: $m$ ) (在水面下则 $d$ 为负数), 若以盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间, 则 $d$ 与时间 $t$ (单位: s) 之间的关系为

$d = A sin (ω t + φ) + K (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}) .$

(1) 求 $A, ω, φ, K$ 的值 ( $φ$ 精确到 0.0001 );
(2) 盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点（精确到 $0.01 s)$ ?

5.6 函数 y=Asin(ωx+φ)

5.6.1 匀速圆周运动的数学模型

5.6.2 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象

1. 探索 φ 对 y=sin(x+φ) 图象的影响

2. 探索 ω(ω>0) 对 y=sin(ωx+φ) 图象的影响

3. 探索 A(A>0) 对 y=Asin(ωx+φ) 图象的影响

练习