1.8 小结

例子

请你带着下面的问题, 复习一下全章的内容吧!

1. 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性, 你能结合例子说明这些特性吗?
2. 你能用集合表示平面内线段 $AB$ 的垂直平分线吗? 结合集合的描述法谈谈你的体会.
3. 用联系的观点看问题, 可以使我们更深刻地理解数学知识. 本章中, 我们类比数与数的关系和运算研究了集合与集合的关系和运算. 你认为这样的类比对发现和提出集合的问题有什么意义? 你能类比数的减法运算给出集合的减法运算吗?
4. 对给定的 $p$ 和 $q$, 如何判定 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件? 你能举例说明吗?
5. 如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题? 你能举例说明吗?

1.

用列举法表示下列集合:
(1) $A=\left\{x\mid x^2=9\right\}$;
(2) $B=\{x\in \mathbf{N}\mid 1⩽x⩽2\}$;
(3) $C=\left\{x\mid x^2-3x+2=0\right\}$.

2.

设 $P$ 表示平面内的动点, 属于下列集合的点组成什么图形?
(1) $\{P\mid PA=PB\}(A,B$ 是两个不同定点);
(2) $\{P\mid PO=3\mathrm{c}\mathrm{m}\}$ ( $O$ 是定点).

3.

设平面内有 $△ABC$, 且 $P$ 表示这个平面内的动点, 指出属于集合 $\{P\mid PA=PB\}\cap \{P\mid PA=$ $PC\}$ 的点是什么.

4.

请用 “充分不必要条件” “必要不充分条件” “充要条件” “既不充分也不必要条件” 填空:
(1) 三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的 ___ .
(2) $x\in A$ 是 $x\in A\cup B$ 的 ___ .
(3) $x\in A$ 是 $x\in A\cap B$ 的 ___ .
(4) $x,y$ 为无理数是 $x+y$ 为无理数的 ___ .

5.

已知 $a,b,c$ 是实数, 判断下列命题的真假:
(1) “ $a>b$ ” 是 “ $a^2>b^2$ ” 的充分条件; ( _ _ )
(2) “ $a>b$ ” 是 “ $a^2>b^2$ ” 的必要条件; ( _ _ )
(3) “ $a>b$ ” 是 “ $a{c}^2>b{c}^2$ ” 的充分条件; ( _ _ )
(4) “ $a>b$ ” 是 $“a{c}^2>b{c}^2$ ” 的必要条件. ( _ _ )

6.

用符号 “ $\forall$ ” 与 “ $\exists$ ” 表示下列含有量词的命题, 并判断真假:
(1) 任意实数的平方大于或等于 0 ;
(2) 对任意实数 $a$, 二次函数 $y=x^2+a$ 的图象关于 $y$ 轴对称;
(3) 存在整数 $x,y$, 使得 $2x+4y=3$;
(4) 存在一个无理数, 它的立方是有理数.

7.

写出下列命题的否定, 并判断它们的真假:
(1) $\forall a\in \mathbf{R}$, 一元二次方程 $x^2-ax-1=0$ 有实根;
(2) 每个正方形都是平行四边形;
(3) $\exists m\in \mathbf{N},\sqrt{m^2+1}\in \mathbf{N}$;
(4) 存在一个四边形 $ABCD$, 其内角和不等于 $360^{\circ }$.

8.

已知集合 $A=\{(x,y)\mid 2x-y=0\},B=\{(x,y)\mid 3x+y=0\},C=\{(x,y)\mid 2x-y=3\}$, 求 $A\cap B,A\cap C$, 并解释它们的几何意义.

9.

已知集合 $A=\left\{1,3,a^2\right\},B=\{1,a+2\}$, 是否存在实数 $a$, 使得 $A\cup B=A$ ? 若存在, 试求出实数 $a$ 的值; 若不存在, 请说明理由.

10.

把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:
(1) 勾股定理;
(2) 三角形内角和定理.

11.

学校举办运动会时, 高一 (1) 班共有 28 名同学参加比赛, 有 15 人参加游泳比赛, 有 8 人参加田径比赛, 有 14 人参加球类比赛, 同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人, 同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人, 没有人同时参加三项比赛. 同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?

12.

根据下述事实, 分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:
(1)

$$\begin{array}{rl}& 1=1^2,\\ & 1+3=2^2,\\ & 1+3+5=3^2,\\ & 1+3+5+7=4^2,\\ & 1+3+5+7+9=5^2,\\ & \text{..... }\end{array}$$

(2) 如图, 在 $△ABC$ 中, $AD,BE$ 与 $CF$ 分别为 $BC,AC$ 与 $AB$ 边上的高, 则 $AD,BE$ 与 $CF$ 所在的直线交于一点 $O$.