1.6 几何命题与充分条件、必要条件

通过前面的学习我们发现, 对于一种几何图形或几何图形之间的关系, 可以通过充要条件给出它的等价定义, 通过充分条件给出它的判定定理, 通过必要条件给出它的性质定理. 利用充分条件、必要条件梳理已学的几何命题, 可以促进我们更深入地理解几何图形及其关系. 下面以相似三角形为例进行说明.

为了方便, 我们记 $q$ : 两个三角形相似.

记 $p$ : 三个角分别相等且三条边成比例. 因为 $p\Rightarrow q,q\Rightarrow p$, 所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件.

三条边、三个内角是三角形的六个要素, 相似三角形的定义从两个三角形各要素间的相互关系给出了两个三角形相似的充要条件.

记 $p_1$ : 三边成比例, $p_2$ : 两边成比例且夹角相等, $p_3$ : 两角分别相等, 我们有 $p_1\Rightarrow q,p_2\Rightarrow q,p_3\Rightarrow q$, 即 $p_1,p_2,p_3$ 分别给出了 $q$ 的一个充分条件.

上述判定定理分别从两个三角形的边、边角、角等要素之间的相互关系给出了相似三角形的充分条件. 事实上, 我们还可以给出相似三角形的其他充分条件,例如 “相似于同一个三角形的两个三角形相似”（这表明, “相似” 具有传递性).

记 $r_1$ : 对应线段的比等于相似比, $r_2$ : 对应角相等, $r_3$ : 周长的比等于对应边之比, $r_4$ : 面积的比等于对应边之比的平方, 我们有 $q\Rightarrow r_1,q\Rightarrow r_2,q\Rightarrow r_3$, $q\Rightarrow r_4$, 即 $r_1,r_2,r_3,r_4$ 分别给出了 $q$ 的一个必要条件. 例如, 如果 $r_1$ 不成立,即对应线段的比不全相等, 那么这两个三角形就一定不相似. 因此, 利用性质定理可以判定两个三角形不是相似三角形.

分析上述命题, 可以发现, 有些条件是 $q$ 的充要条件, 例如 $p_1\left(r_1\right),p_2$, $p_3\left(r_2\right)$, 据此可以构造出相似三角形的等价定义:
(1) 三边成比例的两个三角形叫做相似三角形;
(2) 两边成比例且夹角相等的两个三角形叫做相似三角形;
(3) 两角分别相等的两个三角形叫做相似三角形.