2.2 基本不等式

2024-01-19 22:21:17 新建

我们知道, 乘法公式在代数式的运算中有重要作用. 那么, 是否也有一些不等式, 它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢? 下面就来研究这个问题.

定理重要不等式

前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式:
$\forall a, b \in R$ , 有

$a^{2} + b^{2} ⩾ 2 a b,$

当且仅当 $a = b$ 时, 等号成立.

定理基本不等式

特别地, 如果 $a > 0, b > 0$ , 我们用 $a, b$ 分别代替上式中的 $a, b$ , 可得

$a b ⩽ \frac{a + b}{2}, (1)$

当且仅当 $a = b$ 时, 等号成立.

通常称不等式 (1) 为基本不等式 (basic inequality). 其中, $\frac{a + b}{2}$ 叫做正数 $a, b$ 的算术平均数, $a b$ 叫做正数 $a, b$ 的几何平均数.

基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

例子

上面通过考察 $a^{2} + b^{2} ⩾ 2 a b$ 的特殊情形获得了基本不等式. 能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢? 下面我们来分析一下.

证明

要证

$a b ⩽ \frac{a + b}{2}, (1)$

只要证

$2 a b ⩽ a + b . (2)$

要证(2), 只要证

$2 a b - a - b ⩽ 0 . (3)$

要证(3), 只要证

$- (a - b)^{2} ⩽ 0 . (4)$

要证(4), 只要证

$(a - b)^{2} ⩾ 0 . (5)$

显然, (5)成立, 当且仅当 $a = b$ 时, (5)中的等号成立.

只要把上述过程倒过来, 就能直接推出基本不等式了.

探究

在图 2.2-1 中, $A B$ 是圆的直径, 点 $C$ 是 $A B$ 上一点, $A C = a, B C = b$ . 过点 $C$ 作垂直于 $A B$ 的弦 $D E$ , 连接 $A D$ , $B D$ . 你能利用这个图形, 得出基本不等式的几何解释吗?

过程

如图 2.2-1, 可证 $△ A C D ∽ △ D C B$ , 因而 $C D = a b$ . 由于 $C D$ 小于或等于圆的半径, 用不等式表示为

$a b ⩽ \frac{a + b}{2} .$

显然, 当且仅当点 $C$ 与圆心重合, 即当 $a = b$ 时, 上述不等式的等号成立.

例 1

已知 $x > 0$ , 求 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值.

分析:

求 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值, 就是要求一个 $y_{0} (= x_{0} + \frac{1}{x _{0}})$ , 使 $\forall x > 0$ , 都有 $x + \frac{1}{x} ⩾ y_{0}$ . 观察 $x + \frac{1}{x}$ , 发现 $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ . 联系基本不等式, 可以利用正数 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 的算术平均数与几何平均数的关系得到 $y_{0} = 2$ .

解：

因为 $x > 0$ , 所以

$x + \frac{1}{x} ⩾ 2 x \cdot \frac{1}{x} = 2,$

当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ , 即 $x^{2} = 1, x = 1$ 时, 等号成立, 因此所求的最小值为 2 .

思考

在本题的解答中, 我们不仅明确了 $\forall x > 0$ , 有 $x + \frac{1}{x} ⩾ 2$ , 而且给出了 “当且仅当 $x =$ $\frac{1}{x}$ , 即 $x^{2} = 1, x = 1$ 时, 等号成立”, 这是为了说明 2 是 $x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的一个取值. 想一想, 当 $y_{0} < 2$ 时, $x + \frac{1}{x} ⩾ y_{0}$ 成立吗? 这时能说 $y_{0}$ 是 $x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值吗?

例 2

已知 $x, y$ 都是正数, 求证:
(1) 如果积 $x y$ 等于定值 $P$ , 那么当 $x = y$ 时, 和 $x + y$ 有最小值 $2 P$ ;
(2) 如果和 $x + y$ 等于定值 $S$ , 那么当 $x = y$ 时, 积 $x y$ 有最大值 $\frac{1}{4} S^{2}$ .

证明:

因为 $x, y$ 都是正数, 所以

$\frac{x + y}{2} ⩾ x y .$

(1) 当积 $x y$ 等于定值 $P$ 时,

$\frac{x + y}{2} ⩾ P,$

所以

$x + y ⩾ 2 P,$

当且仅当 $x = y$ 时, 上式等号成立. 于是, 当 $x = y$ 时, 和 $x + y$ 有最小值 $2 P$ .
(2) 当和 $x + y$ 等于定值 $S$ 时,

$x y ⩽ \frac{S}{2},$

所以

$x y ⩽ \frac{1}{4} S^{2},$

当且仅当 $x = y$ 时, 上式等号成立. 于是, 当 $x = y$ 时, 积 $x y$ 有最大值 $\frac{1}{4} S^{2}$ .

练习

已知 $a, b \in R$ , 求证 $a b ⩽ (\frac{a + b}{2})^{2}$ .

已知 $x, y$ 都是正数, 且 $x \neq = y$ , 求证:
(1) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$ ;
(2) $\frac{2 x y}{x + y} < x y$ .

当 $x$ 取什么值时, $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ 取得最小值? 最小值是多少?

已知 $- 1 ⩽ x ⩽ 1$ , 求 $1 - x^{2}$ 的最大值.

已知直角三角形的面积等于 $50 c m^{2}$ , 当两条直角边的长度各为多少时, 两条直角边的和最小? 最小值是多少?

基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用, 是解决最大（小）值问题的有力工具.

例 3

(1) 用篱笆围一个面积为 $100 m^{2}$ 的矩形菜园, 当这个矩形的边长为多少时, 所用篱笆最短? 最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 $36 m$ 的篱笆围成一个矩形菜园, 当这个矩形的边长为多少时, 菜园的面积最大? 最大面积是多少?

分析:

(1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积, 于是问题转化为: 矩形的邻边之积为定值, 边长多大时周长最短.
(2) 矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的 2 倍, 于是问题转化为: 矩形的邻边之和为定值, 边长多大时面积最大.

解:

设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 $x m, y m$ , 篱笆的长度为 $2 (x + y) m$ .
(1) 由已知得 $x y = 100$ .
由

$\frac{x + y}{2} ⩾ x y,$

可得

$x + y ⩾ 2 x y = 20,$

所以

$2 (x + y) ⩾ 40,$

当且仅当 $x = y = 10$ 时, 上式等号成立.

因此, 当这个矩形菜园是边长为 $10 m$ 的正方形时, 所用篱笆最短, 最短篱笆的长度为 $40 m$ .

(2) 由已知得 $2 (x + y) = 36$ , 矩形菜园的面积为 $x y m^{2}$ .

由

$x y ⩽ \frac{x + y}{2} = \frac{1 8}{2} = 9,$

可得

$x y ⩽ 81,$

当且仅当 $x = y = 9$ 时, 上式等号成立.

因此, 当这个矩形菜园是边长为 $9 m$ 的正方形时, 菜园的面积最大, 最大面积是 $81 m^{2}$ .

例 4

某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, 其容积为 $4800 m^{3}$ , 深为 $3 m$ . 如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元, 那么怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少?

分析:

贮水池呈长方体形, 它的高是 $3 m$ , 池底的边长没有确定. 如果池底的边长确定了, 那么水池的总造价也就确定了. 因此, 应当考察池底的边长取什么值时, 水池的总造价最低.

解:

设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 $x m, y m$ , 水池的总造价为 $z$ 元. 根据题意, 有

$z = 150 \times \frac{4 8 0 0}{3} + 120 (2 \times 3 x + 2 \times 3 y) = 240000 + 720 (x + y) .$

由容积为 $4800 m^{3}$ , 可得

$3 x y = 4800,$

因此

$x y = 1600 .$

所以

$z ⩾ 240000 + 720 \times 2 x y,$

当 $x = y = 40$ 时, 上式等号成立, 此时 $z = 297600$ .

所以, 将贮水池的池底设计成边长为 $40 m$ 的正方形时总造价最低, 最低总造价是 297600 元.

练习

用 $20 c m$ 长的铁丝折成一个面积最大的矩形, 应当怎样折?

用一段长为 $30 m$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长 $18 m$ . 当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大? 最大面积是多少?

做一个体积为 $32 m^{3}$ , 高为 $2 m$ 的长方体纸盒, 当底面的边长取什么值时, 用纸最少?

已知一个矩形的周长为 $36 c m$ , 矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱. 当矩形的边长为多少时, 旋转形成的圆柱的侧面积最大?

习题 2.2

复习巩固

(1) 已知 $x > 1$ , 求 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值;
(2) 求 $x (10 - x)$ 的最大值.

(1) 把 36 写成两个正数的积, 当这两个正数取什么值时, 它们的和最小?
(2) 把 18 写成两个正数的和, 当这两个正数取什么值时, 它们的积最大?

某公司建造一间背面靠墙的房屋, 地面面积为 $48 m^{2}$ , 房屋正面每平方米的造价为 1200 元,房屋侧面每平方米的造价为 800 元, 屋顶的造价为 5800 元. 如果墙高为 $3 m$ , 且不计房屋背面和地面的费用, 那么怎样设计房屋能使总造价最低? 最低总造价是多少?

综合运用

已知 $x, y, z$ 都是正数, 求证: $(x + y) (y + z) (z + x) ⩾ 8 x y z$ .

已知 $x > 0$ , 求证: $2 - 3 x - \frac{4}{x}$ 的最大值是 $2 - 43$ .

一家货物公司计划租地建造仓库储存货物, 经过市场调查了解到下列信息: 每月土地占地费 $y_{1}$ （单位: 万元）与仓库到车站的距离 $x$ (单位: $k m$ ) 成反比, 每月库存货物费 $y_{2}$ （单位:万元）与 $x$ 成正比; 若在距离车站 $10 k m$ 处建仓库, 则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 分别为 2 万元和 8 万元. 这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处, 才能使两项费用之和最小?

拓广探索

一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金. 一位顾客到店里购买 $10 g$ 黄金, 售货员先将 $5 g$ 的砝码放在天平左盘中, 取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡; 再将 $5 g$ 的砝码放在天平右盘中, 再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡; 最后将两次称得的黄金交给顾客. 你认为顾客购得的黄金是小于 $10 g$ , 等于 $10 g$ , 还是大于 $10 g$ ? 为什么?

设矩形 $A B C D (A B > A D)$ 的周长为 $24 c m$ , 把 $△ A B C$ 沿 $A C$ 向 $△ A D C$ 折叠, $A B$ 折过去后交 $D C$ 于点 $P$ . 设 $A B = x c m$ , 求 $△ A D P$ 的最大面积及相应 $x$ 的值.