3.5 小结

探究 函数的形成与发展

了解函数形成、发展的历史.

1. 函数产生的社会背景.
2. 函数概念发展的历史过程.
3. 函数符号的故事.
4. 数学家与函数.
   众多数学家对函数的完善作出了贡献, 例如开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨和欧拉等. 可以选取一位或多位数学家, 说明他们对函数发展作出的贡献, 感受数学家的精神.

思考

请你带着下面的问题, 复习一下全章内容吧!

1. 通过本章学习, 你对函数概念有什么新的认识?
2. 你能结合具体实例, 分析、比较函数的各种表示方法的特点吗?
3. 函数的性质一般包括哪些方面? 为什么要研究这些性质? 你能总结一下研究函数性质的一般过程和方法吗?

1.

求下列函数的定义域:
(1) $y=\sqrt{x-2}\sqrt{x+5}$;
(2) $y=\frac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}$.

2.

已知函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 求:
(1) $f(a)+1(a\ne -1)$;
(2) $f(a+1)(a\ne -2)$.

3.

设 $f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$, 求证:
(1) $f(-x)=f(x)$;
(2) $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)(x\ne 0)$.

4.

已知函数 $f(x)=4x^2-kx-8$ 在 $[5,20]$ 上具有单调性, 求实数 $k$ 的取值范围.

5.

已知幂函数 $y=f(x)$ 的图象过点 $\left(2,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, 试求出此函数的解析式, 并画出图象, 判断奇偶性、单调性.

6.

某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20000 元, 每生产一台仪器需增加投人 100 元, 已知总收入 $R$ (单位: 元) 关于月产量 $x$ (单位: 台) 满足函数:

$$R=\{\begin{array}{l}400x-\frac{1}{2}{x}^2,0⩽x⩽400,\\ 80000,x>400.\end{array}$$

(1) 将利润 $P$ (单位: 元) 表示为月产量 $x$ 的函数;
(2) 当月产量为何值时, 公司所获利润最大? 最大利润为多少元? (总收入 $=$ 总成本 $+$ 利润)

7.

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}x(x+4),x⩾0,\\ x(x-4),x<0,\end{array}$ 求 $f(1),f(-3),f(a+1)$ 的值.

8.

证明:
(1) 若 $f(x)=ax+b$, 则 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}$;
(2) 若 $g(x)=x^2+ax+b$, 则 $g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)⩽\frac{g\left(x_1\right)+g\left(x_2\right)}{2}$.

9.

(1) 已知奇函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减, 那么它在 $[-b,-a]$ 上单调递增还是单调递减?
(2) 已知偶函数 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减, 那么它在 $[-b,-a]$ 上单调递增还是单调递减?

10.

某地区上年度电价为 0.8 元 $/(\mathrm{k}\mathrm{W}\cdot \mathrm{h})$, 年用电量为 $a\mathrm{k}\mathrm{W}\cdot \mathrm{h}$, 本年度计划将电价下降到 0.55 元 $/(\mathrm{k}\mathrm{W}\cdot \mathrm{h})$ 至 0.75 元 $/(\mathrm{k}\mathrm{W}\cdot \mathrm{h})$ 之间, 而用户期望电价为 0.4 元 $/(\mathrm{k}\mathrm{W}\cdot \mathrm{h})$. 经测算, 下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比 (比例系数为 $k$ ). 该地区的电力成本价为 0.3 元 $/(\mathrm{k}\mathrm{W}\cdot \mathrm{h})$.
(1) 写出本年度电价下调后电力部门的收益 $y$ (单位: 元) 关于实际电价 $x$ (单位: 元 $/(\mathrm{k}\mathrm{W}\cdot \mathrm{h})$ )的函数解析式; (收益 $=$ 实际电量 $\times$ (实际电价 $-$ 成本价))
(2) 设 $k=0.2a$, 当电价最低定为多少时, 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 $20\%$ ?

11.

经济学家在研究供求关系时, 一般用纵轴表示产品价格 (自变量), 而用横轴来表示产品数量 (因变量). 下列供求曲线, 哪条表示厂商希望的供应曲线, 哪条表示客户希望的需求曲线?为什么?

12.

试讨论函数 $y=x-\frac{1}{x}$ 的定义域、值域、单调性、奇偶性, 并画出函数图象.

13.

如图, $△OAB$ 是边长为 2 的正三角形, 记 $△OAB$ 位于直线 $x=t(t>0)$ 左侧的图形的面积为 $f(t)$. 试求函数 $y=f(t)$ 的解析式, 并画出函数 $y=f(t)$ 的图象.

14.

某商场经营一批进价为 30 元/件的商品, 在市场试销中发现, 此商品的销售单价 $x$ (单位: 元)与日销售量 $y$ (单位: 件)之间有如下表所示的关系.

(1) 根据表中提供的数据描出实数对 $(x,y)$ 的对应点, 根据画出的点猜想 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系, 并写出一个函数解析式;
(2) 设经营此商品的日销售利润为 $P$ (单位: 元), 根据上述关系,写出 $P$ 关于 $x$ 的函数解析式, 并求销售单价为多少元时, 才能获得最大日销售利润.