5.2 三角函数的概念

2024-03-14 22:19:15 新建

在弧度制下, 我们已经将角的范围扩展到全体实数. 下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题. 不失一般性,先研究单位圆上点的运动. 现在的任务是:

探究

如图 5.2-1, 单位圆 $⊙ O$ 上的点 $P$ 以 $A$ 为起点做逆时针方向旋转, 建立一个数学模型, 刻画点 $P$ 的位置变化情况.

5.2.1 三角函数的概念

根据研究函数的经验, 我们利用直角坐标系来研究上述问题.

探究

如图 5.2-2, 以单位圆的圆心 $O$ 为原点, 以射线 $O A$ 为 $x$ 轴的非负半轴, 建立直角坐标系, 点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ , 点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ . 射线 $O A$ 从 $x$ 轴的非负半轴开始, 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转角 $α$ , 终止位置为 $OP$ .

当 $α = \frac{π}{6}$ 时, 点 $P$ 的坐标是什么? 当 $α = \frac{π}{2}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ 时, 点 $P$ 的坐标又是什么? 它们是唯一确定的吗?

一般地, 任意给定一个角 $α$ , 它的终边 $OP$ 与单位圆交点 $P$ 的坐标能唯一确定吗?

解

利用勾股定理可以发现, 当 $α = \frac{π}{6}$ 时, 点 $P$ 的坐标是 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ ; 当 $α = \frac{π}{2}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ 时, 点 $P$ 的坐标分别是 $(0, 1)$ 和 $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ . 它们都是唯一确定的.

一般地, 任意给定一个角 $α \in R$ , 它的终边 $OP$ 与单位圆交点 $P$ 的坐标, 无论是横坐标 $x$ 还是纵坐标 $y$ , 都是唯一确定的. 所以, 点 $P$ 的横坐标 $x$ 、纵坐标 $y$ 都是角 $α$ 的函数.

下面给出这些函数的定义.

定义三角函数

设 $α$ 是一个任意角, $α \in R$ , 它的终边 $OP$ 与单位圆相交于点 $P (x, y)$ .

(1) 把点 $P$ 的纵坐标 $y$ 叫做 $α$ 的正弦函数 (sine function), 记作 $sin α$ , 即

$y = sin α;$

(2) 把点 $P$ 的横坐标 $x$ 叫做 $α$ 的余弦函数 (cosine function), 记作 $cos α$ , 即

$x = cos α;$

(3) 把点 $P$ 的纵坐标与横坐标的比值 $\frac{y}{x}$ 叫做 $α$ 的正切, 记作 $tan α$ , 即

$\frac{y}{x} = tan α (x \neq = 0) .$

可以看出, 当 $α = \frac{π}{2} + kπ (k \in Z)$ 时, $α$ 的终边在 $y$ 轴上, 这时点 $P$ 的横坐标 $x$ 等于 0 , 所以 $\frac{y}{x} = tan α$ 无意义. 除此之外, 对于确定的角 $α, \frac{y}{x}$ 的值也是唯一确定的. 所以, $\frac{y}{x} = tan α (x \neq = 0)$ 也是以角为自变量, 以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数, 称为正切函数 (tangent function).

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 (trigonometric function), 通常将它们记为:
正弦函数 $y = sin x, x \in R$ ;
余弦函数 $y = cos x, x \in R$ ;
正切函数 $y = tan x, x \in {x ∣ ∣ x \neq = \frac{π}{2} + kπ (k \in Z)}$ .

探究

在初中我们学了锐角三角函数, 知道它们都是以锐角为自变量, 以比值为函数值的函数. 设 $x \in (0, \frac{π}{2})$ , 把按锐角三角函数定义求得的锐角 $x$ 的正弦记为 $z_{1}$ , 并把按本节三角函数定义求得的 $x$ 的正弦记为 $y_{1}$ . $z_{1}$ 与 $y_{1}$ 相等吗? 对于余弦、正切也有相同的结论吗?

例 1

求 $\frac{5 π}{3}$ 的正弦、余弦和正切值.

解:

在直角坐标系中, 作 $∠ A OB = \frac{5 π}{3}$ (图 5.2-3).

易知 $∠ A OB$ 的终边与单位圆的交点坐标为 $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ . 所以,

$sin \frac{5 π}{3} cos \frac{5 π}{3} tan \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}, = \frac{1}{2}, = - 3 .$

例 2

如图 5.2-4, 设 $α$ 是一个任意角, 它的终边上任意一点 $P$ (不与原点 $O$ 重合) 的坐标为 $(x, y)$ , 点 $P$ 与原点的距离为 $r$ . 求证: $sin α = \frac{y}{r}, cos α = \frac{x}{r}, tan α = \frac{y}{x}$ .

分析:

观察图 5.2-5, 由 $△ OMP ∽ △ O M_{0} P_{0}$ , 根据三角函数的定义可以得到证明.

证明:

如图 5.2-5, 设角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ .分别过点 $P, P_{0}$ 作 $x$ 轴的垂线 $PM, P_{0} M_{0}$ , 垂足分别为 $M$ , $M_{0}$ , 则

$∣ P_{0} M_{0} ∣ = ∣ y_{0} ∣, ∣ PM ∣ = ∣ y ∣, ∣ O M_{0} ∣ = ∣ x_{0} ∣, ∣ OM ∣ = ∣ x ∣, △ OMP ∽ △ O M_{0} P_{0} .$

于是

$\frac{∣ P _{0} M _{0} ∣}{1} = \frac{∣ PM ∣}{r},$

即

$∣ y_{0} ∣ = \frac{∣ y ∣}{r} .$

因为 $y_{0}$ 与 $y$ 同号, 所以

$y_{0} = \frac{y}{r},$

即

$sin α = \frac{y}{r} .$

同理可得

$cos α = \frac{x}{r}, tan α = \frac{y}{x} .$

根据勾股定理, $r = x^{2} + y^{2}$ . 由例 2 可知, 只要知道角 $α$ 终边上任意一点 $P$ 的坐标,就可以求得角 $α$ 的各个三角函数值, 并且这些函数值不会随 $P$ 点位置的改变而改变.

练习

利用三角函数定义, 求 $0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$ 的三个三角函数值.

利用三角函数定义, 求 $\frac{7 π}{6}$ 的三个三角函数值.

已知角 $θ$ 的终边过点 $P (- 12, 5)$ , 求角 $θ$ 的三角函数值.

已知点 $P$ 在半径为 2 的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动, 角速度为 $1 rad / s$ . 求 $2 s$ 时点 $P$ 所在的位置.

学习了三角函数的定义, 接下来研究它们的一些性质.

探究

根据任意角的三角函数定义, 先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表 5.2-1, 再将这三种函数的值在各象限的符号填入图 5.2-6 中的括号.

例 3

求证: 角 $θ$ 为第三象限角的充要条件是

${sin θ < 0, tan θ > 0. (1) (2)$

证明:

先证充分性, 即如果(1)(2)式都成立, 那么 $θ$ 为第三象限角.
因为(1)式 $sin θ < 0$ 成立, 所以 $θ$ 角的终边可能位于第三或第四象限, 也可能与 $y$ 轴的负半轴重合;
又因为(2)式 $tan θ > 0$ 成立, 所以 $θ$ 角的终边可能位于第一或第三象限.
因为(1)(2)式都成立, 所以 $θ$ 角的终边只能位于第三象限. 于是角 $θ$ 为第三象限角.
必要性请同学们自己证明.

定理

由三角函数的定义, 可以知道: 终边相同的角的同一三角函数的值相等.

由此得到一组公式:
公式一

$sin (α + k \cdot 2 π) = sin α, cos (α + k \cdot 2 π) = cos α, tan (α + k \cdot 2 π) = tan α,$

其中 $k \in Z$ .

由公式一可知, 三角函数值有 “周而复始” 的变化规律, 即角 $α$ 的终边每绕原点旋转一周, 函数值将重复出现.

利用公式一, 可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 $0 \sim 2 π$ (或 $0^{\circ} \sim 36 0^{\circ}$ ) 角的三角函数值.

例 4

确定下列三角函数值的符号, 然后用计算工具验证:
(1) $cos 25 0^{\circ}$ ;
(2) $sin (- \frac{π}{4})$ ;
(3) $tan (- 67 2^{\circ})$ ;
(4) $tan 3 π$ .

解：

(1) 因为 $25 0^{\circ}$ 是第三象限角, 所以

$cos 25 0^{\circ} < 0;$

(2) 因为 $- \frac{π}{4}$ 是第四象限角, 所以

$sin (- \frac{π}{4}) < 0;$

(3) 因为 $tan (- 67 2^{\circ}) = tan (4 8^{\circ} - 2 \times 36 0^{\circ}) = tan 4 8^{\circ}$ , 而 $4 8^{\circ}$ 是第一象限角, 所以

$tan (- 67 2^{\circ}) > 0;$

(4) 因为

$tan 3 π = tan (π + 2 π) = tan π,$

而 $π$ 的终边在 $x$ 轴上, 所以

$tan π = 0.$

请同学们自己完成用计算工具验证.

例 5

求下列三角函数值:
(1) $sin 148 0^{\circ} 1 0^{'}$ (精确到 0.001);
(2) $cos \frac{9 π}{4}$ ;
(3) $tan (- \frac{11 π}{6})$ .

解:

(1)

$sin 148 0^{\circ} 1 0^{'} = sin (4 0^{\circ} 1 0^{'} + 4 \times 36 0^{\circ}) = sin 4 0^{\circ} 1 0^{'} \approx 0.645;$

(2) $cos \frac{9 π}{4} = cos (\frac{π}{4} + 2 π) = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ ;
(3) $tan (- \frac{11 π}{6}) = tan (\frac{π}{6} - 2 π) = tan \frac{π}{6} = \frac{3}{3}$ .

可以直接利用计算工具求三角函数的值. 用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制.

练习

填表:

$α$	$2 π$	$\frac{13 π}{6}$	$- π$	$- \frac{4 π}{3}$	$\frac{15 π}{4}$
$sin α$
$cos α$
$tan α$

(口答) 设 $α$ 是三角形的一个内角, 在 $sin α, cos α, tan α, tan \frac{α}{2}$ 中, 哪些有可能取负值?

确定下列三角函数值的符号:
(1) $sin 15 6^{\circ}$ ;
(2) $cos \frac{16}{5} π$ ;
(3) $cos (- 45 0^{\circ})$ ;
(4) $tan (- \frac{17}{8} π)$ ;
(5) $sin (- \frac{4 π}{3})$ ;
(6) $tan 55 6^{\circ}$ .

对于 $\overset{◯}{1}$ $sin θ > 0$ , $\overset{◯}{2}$ $sin θ < 0$ , $\overset{◯}{3}$ $cos θ > 0$ , $\overset{◯}{4}$ $cos θ < 0$ , $\overset{◯}{5}$ $tan θ > 0$ 与 $\overset{◯}{6}$ $tan θ < 0$ , 选择恰当的关系式序号填空:
(1) 角 $θ$ 为第一象限角的充要条件是；
(2) 角 $θ$ 为第二象限角的充要条件是；
(3) 角 $θ$ 为第三象限角的充要条件是；
(4) 角 $θ$ 为第四象限角的充要条件是 .

求下列三角函数值 (可用计算工具, 第 (1) 题精确到 0.000 1):
(1) $cos 110 9^{\circ}$ ;
(2) $tan \frac{19 π}{3}$ ;
(3) $sin (- 105 0^{\circ})$ ;
(4) $tan (- \frac{31 π}{4})$ .

5.2.2 同角三角函数的基本关系

探究

公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等, 那么, 终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢?

解

因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的, 所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系. 由公式一可知, 我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.

如图 5.2-7, 设点 $P (x, y)$ 是角 $α$ 的终边与单位圆的交点. 过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线, 交 $x$ 轴于 $M$ , 则 $△ OMP$ 是直角三角形, 而且 $OP = 1$ . 由勾股定理有

$O M^{2} + M P^{2} = 1.$

因此, $x^{2} + y^{2} = 1$ , 即

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1 .$

显然, 当 $α$ 的终边与坐标轴重合时, 这个公式也成立.

根据三角函数的定义, 当 $α \neq = kπ + \frac{π}{2} (k \in Z)$ 时, 有

$\frac{sin α}{cos α} = tan α .$

这就是说, 同一个角 $α$ 的正弦、余弦的平方和等于 1, 商等于角 $α$ 的正切.

定理同角三角函数的基本关系

同一个角 $α$ 的正弦、余弦的平方和等于 1, 商等于角 $α$ 的正切.

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1 \frac{sin α}{cos α} = tan α (α \neq = kπ + \frac{π}{2} (k \in Z))$

例 6

已知 $sin α = - \frac{3}{5}$ , 求 $cos α, tan α$ 的值.

解：

因为 $sin α < 0, sin α \neq = - 1$ , 所以 $α$ 是第三或第四象限角.
由 $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ 得

$cos^{2} α = 1 - sin^{2} α = 1 - (- \frac{3}{5})^{2} = \frac{16}{25} .$

如果 $α$ 是第三象限角, 那么 $cos α < 0$ . 于是

$cos α = - \frac{16}{25} = - \frac{4}{5},$

从而

$tan α = \frac{sin α}{cos α} = (- \frac{3}{5}) \times (- \frac{5}{4}) = \frac{3}{4} .$

如果 $α$ 是第四象限角, 那么

$cos α = \frac{4}{5}, tan α = - \frac{3}{4} .$

例 7

求证: $\frac{c o s x}{1 - s i n x} = \frac{1 + s i n x}{c o s x}$ .

证法 1:

由 $cos x \neq = 0$ , 知 $sin x \neq = - 1$ , 所以 $1 + sin x \neq = 0$ , 于是

$左边 = \frac{cos x ( 1 + sin x )}{( 1 - sin x ) ( 1 + sin x )} = \frac{cos x ( 1 + sin x )}{1 - sin ^{2} x} = \frac{cos x ( 1 + sin x )}{cos ^{2} x} = \frac{1 + sin x}{cos x} = 右边 .$

所以, 原式成立.

证法 2:

因为

$= = (1 - sin x) (1 + sin x) 1 - sin^{2} x = cos^{2} x cos x cos x,$

且 $1 - sin x \neq = 0, cos x \neq = 0$ , 所以

$\frac{cos x}{1 - sin x} = \frac{1 + sin x}{cos x} .$

定义三角恒等式

今后, 除特殊注明外,我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式.

练习

已知 $cos α = - \frac{4}{5}$ , 且 $α$ 为第三象限角, 求 $sin α, tan α$ 的值.

已知 $tan φ = - 3$ , 求 $sin φ, cos φ$ 的值.

已知 $sin θ = 0.35$ , 求 $cos θ, tan θ$ 的值（精确到 0.01 ).

化简:
(1) $cos θ tan θ$ ;
(2) $\frac{2 c o s ^{2} α - 1}{1 - 2 s i n ^{2} α}$ ;
(3) $(1 + tan^{2} α) cos^{2} α$ .

求证: $sin^{4} α + sin^{2} α cos^{2} α + cos^{2} α = 1$ .

习题 5.2

复习巩固

用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值 (可用计算工具):
(1) $- \frac{17 π}{3}$ ;
(2) $\frac{21 π}{4}$ ;
(3) $- \frac{23 π}{6}$ ;
(4) $150 0^{\circ}$ .

已知角 $α$ 的终边上有一点 $P$ 的坐标是 $(3 a, 4 a)$ , 其中 $a \neq = 0$ , 求 $sin α, cos α, tan α$ 的值.

计算:
(1) $6 sin (- 9 0^{\circ}) + 3 sin 0^{\circ} - 8 sin 27 0^{\circ} + 12 cos 18 0^{\circ}$ ;
(2) $10 cos 27 0^{\circ} + 4 sin 0^{\circ} + 9 tan 0^{\circ} + 15 cos 36 0^{\circ}$ ;
(3) $2 cos \frac{π}{2} - tan \frac{π}{4} + \frac{3}{4} tan^{2} \frac{π}{6} - sin \frac{π}{6} + cos^{2} \frac{π}{6} + sin \frac{3 π}{2}$ ;
(4) $sin^{2} \frac{π}{3} + cos^{4} \frac{3 π}{2} - tan^{2} \frac{π}{3}$ .

化简:
(1) $a sin 0^{\circ} + b cos 9 0^{\circ} + c tan 18 0^{\circ}$ ;
(2) $- p^{2} cos 18 0^{\circ} + q^{2} sin 9 0^{\circ} - 2 pq cos 0^{\circ}$ ;
(3) $a^{2} cos 2 π - b^{2} sin \frac{3 π}{2} + ab cos π - ab sin \frac{π}{2}$ ;
(4) $m tan 0 + n cos \frac{1}{2} π - p sin π - q cos \frac{3}{2} π - r sin 2 π$ .

确定下列三角函数值的符号:
(1) $sin 18 6^{\circ}$ ;
(2) $tan 50 5^{\circ}$ ;
(3) $sin 7.6 π$ ;
(4) $tan (- \frac{23 π}{4})$ ;
(5) $cos 94 0^{\circ}$ ;
(6) $cos (- \frac{59 π}{17})$ .

(1) 已知 $sin α = - \frac{3}{2}$ , 且 $α$ 为第四象限角, 求 $cos α, tan α$ 的值;
(2) 已知 $cos α = - \frac{5}{13}$ , 且 $α$ 为第二象限角, 求 $sin α, tan α$ 的值;
(3) 已知 $tan α = - \frac{3}{4}$ , 求 $sin α, cos α$ 的值;
(4) 已知 $cos α = 0.68$ , 求 $sin α, tan α$ 的值（精确到 0.01 ).

综合运用

根据下列条件求函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{4}) + 2 sin (x - \frac{π}{4}) - 4 cos 2 x + 3 cos (x + \frac{3 π}{4})$ 的值:
(1) $x = \frac{π}{4}$ ;
(2) $x = \frac{3 π}{4}$ .

确定下列式子的符号:
(1) $tan 12 5^{\circ} sin 27 3^{\circ}$ ;
(2) $\frac{t a n 10 8 ^{\circ}}{c o s 30 5 ^{\circ}}$ ;
(3) $sin \frac{5 π}{4} cos \frac{4 π}{5} tan \frac{11 π}{6}$ ;
(4) $\frac{c o s \frac{5 π}{6} t a n \frac{11 π}{6}}{s i n \frac{2 π}{3}}$ .

求下列三角函数值 (可用计算工具, 第 (1) (3) (4) 题精确到 0.000 1):
(1) $sin (- \frac{67 π}{12})$ ;
(2) $tan (- \frac{15 π}{4})$ ;
(3) $cos 39 8^{\circ} 1 3^{'}$ ;
(4) $tan 76 6^{\circ} 1 5^{'}$ .

10.

求证:
(1) 角 $θ$ 为第二或第三象限角的充要条件是 $sin θ tan θ < 0$ ;
(2) 角 $θ$ 为第三或第四象限角的充要条件是 $cos θ tan θ < 0$ ;
(3) 角 $θ$ 为第一或第四象限角的充要条件是 $\frac{s i n θ}{t a n θ} > 0$ ;
(4) 角 $θ$ 为第一或第三象限角的充要条件是 $sin θ cos θ > 0$ .

11.

已知 $sin x = - \frac{1}{3}$ , 求 $cos x, tan x$ 的值.

12.

已知 $tan α = 3, π < α < \frac{3}{2} π$ , 求 $cos α - sin α$ 的值.

13.

已知角 $α$ 的终边不在坐标轴上,
(1) 用 $cos α$ 表示 $sin α, tan α$ ;
(2) 用 $sin α$ 表示 $cos α, tan α$ .

14.

求证:
(1) $\frac{1 - 2 s i n x c o s x}{c o s ^{2} x - s i n ^{2} x} = \frac{1 - t a n x}{1 + t a n x}$ ;
(2) $tan^{2} α - sin^{2} α = tan^{2} α sin^{2} α$ ；
(3) $(cos β - 1)^{2} + sin^{2} β = 2 - 2 cos β$ ;
(4) $sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x$ .

15.

已知 $tan α = 2$ , 求 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α}$ 的值.

拓广探索

16.

化简 $\frac{1 + s i n α}{1 - s i n α} - \frac{1 - s i n α}{1 + s i n α}$ , 其中 $α$ 为第二象限角.

17.

从本节的例 7 可以看出, $\frac{c o s x}{1 - s i n x} = \frac{1 + s i n x}{c o s x}$ 就是 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 的一个变形. 你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗?

18.

(1) 分别计算 $sin^{4} \frac{π}{3} - cos^{4} \frac{π}{3}$ 和 $sin^{2} \frac{π}{3} - cos^{2} \frac{π}{3}$ 的值，你有什么发现?
(2) 任取一个 $α$ 的值，分别计算 $sin^{4} α - cos^{4} α, sin^{2} α - cos^{2} α$ , 你又有什么发现?
(3) 证明: $\forall x \in R, sin^{2} x - cos^{2} x = sin^{4} x - cos^{4} x$ .

阅读与思考

三角学与天文学

三角学的起源、发展与天文学密不可分, 它是天文观察结果推算的一种方法.在 1450 年以前的三角学主要是球面三角, 这不但是因为航海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要, 而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力, 这种 “量天的学问” 确实太诱人了. 后来, 由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角.

在欧洲, 最早将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯 (J. Regiomontanus, 1436-1476). 他在 1464 年完成的 5 卷本的著作《论各种三角形》, 是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作, 这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述. 前 2 卷论述平面三角学, 后 3 卷讨论球面三角学. 前 2 卷中, 他采用印度人的正弦, 即弧的半弦, 明确使用了正弦函数, 讨论了一般三角形的正弦定理, 提出了求三角形边长的代数解法; 后 3 卷中, 给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理. 他的工作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础, 对 16 世纪的数学家产生了极大影响, 也对哥白尼等一批天文学家产生了很大影响.

由于雷格蒙塔努斯仅仅采用正弦函数和余弦函数, 而且函数值也限定在正数范围内, 因而不能推出应有的三角公式, 导致计算的困难. 后来, 哥白尼的学生雷提库斯 (G. J. Rheticus, 1514-1576) 将传统的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系, 把三角函数定义为直角三角形的边长之比, 从而使平面三角学从球面三角学中独立出来. 他还采用了六个函数 (正弦、余弦、正切、余切、正割、余割), 制定了更为精确的正弦、正切、正割表. 这些工作都极大推进了三角学的发展. 实际上, 由于天文学研究的需要, 制定更加精确的三角函数表一直是数学家奋斗的目标, 这大大推动了三角学的发展.

法国数学家韦达（F. Viete，1540-1603）所做的平面三角与球面三角系统化工作, 使得三角学得到进一步发展. 他总结了前人的三角学研究成果, 将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起, 还补充了自己发现的新公式, 如正切公式、和差化积公式等. 他将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题.对球面直角三角形, 他给出了计算的方法和一套完整的公式及其记忆法则, 并将这套公式表示成了代数形式, 这是非常重要的工作.

16 世纪, 三角学从天文学中分离出来, 成为数学的一个独立分支. 后来, 在微积分、物理学的研究和应用 (如对振动、声音传播等的研究) 中, 三角学又找到了新的用武之地.