1.7 全称量词与存在量词

2024-01-12 23:31:58 新建

我们知道, 命题是可以判断真假的陈述句. 在数学中,有时会遇到一些含有变量的陈述句, 由于不知道变量代表什么数, 无法判断真假, 因此它们不是命题. 但是, 如果在原语句的基础上, 用一个短语对变量的取值范围进行限定, 就可以使它们成为一个命题, 我们把这样的短语称为量词. 本节将学习全称量词和存在量词, 以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.7.1 全称量词与存在量词

思考

下列语句是命题吗? 比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系?
(1) $x > 3$ ;
(2) $2 x + 1$ 是整数;
(3) 对所有的 $x \in R, x > 3$ ;
(4) 对任意一个 $x \in Z, 2 x + 1$ 是整数.

语句 (1) (2) 中含有变量 $x$ , 由于不知道变量 $x$ 代表什么数, 无法判断它们的真假,所以它们不是命题. 语句 (3) 在（1）的基础上, 用短语 “所有的” 对变量 $x$ 进行限定;语句 (4) 在 (2) 的基础上, 用短语 “任意一个” 对变量 $x$ 进行限定, 从而使 (3) (4)成为可以判断真假的语句, 因此语句 (3) (4) 是命题.

定义

短语 “所有的” “任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词 (universal quantifier), 并用符号 “ $\forall$ ” 表示. 含有全称量词的命题, 叫做全称量词命题.

常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” 等.

例子

例如, 命题 “对任意的 $n \in Z, 2 n + 1$ 是奇数” “所有的正方形都是矩形” 都是全称量词命题.

定义

通常, 将含有变量 $x$ 的语句用 $p (x), q (x), r (x), \dots$ 表示, 变量 $x$ 的取值范围用 $M$ 表示. 那么, 全称量词命题 “对 $M$ 中任意一个 $x, p (x)$ 成立” 可用符号简记为

$\forall x \in M, p (x) .$

例 1

判断下列全称量词命题的真假:
(1) 所有的素数都是奇数;
(2) $\forall x \in R, ∣ x ∣ + 1 ⩾ 1$ ;
(3) 对任意一个无理数 $x, x^{2}$ 也是无理数.

定义

如果一个大于 1 的整数, 除 1 和自身外无其他正因数, 则称这个正整数为素数.

分析:

要判定全称量词命题 “ $\forall x \in M, p (x)$ ” 是真命题, 需要对集合 $M$ 中每个元素 $x$ , 证明 $p (x)$ 成立; 如果在集合 $M$ 中找到一个元素 $x_{0}$ , 使 $p (x_{0})$ 不成立, 那么这个全称量词命题就是假命题.

这个方法就是 “举反例”.

解：

(1) 2 是素数, 但 2 不是奇数. 所以, 全称量词命题 “所有的素数是奇数” 是假命题.
(2) $\forall x \in R$ , 总有 $∣ x ∣ ⩾ 0$ , 因而 $∣ x ∣ + 1 ⩾ 1$ . 所以, 全称量词命题 “ $\forall x \in R, ∣ x ∣ + 1 ⩾ 1$ ” 是真命题.
(3) $2$ 是无理数, 但 $(2)^{2} = 2$ 是有理数. 所以, 全称量词命题 “对每一个无理数 $x, x^{2}$ 也是无理数” 是假命题.

思考

下列语句是命题吗? 比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系?
(1) $2 x + 1 = 3$ ;
(2) $x$ 能被 2 和 3 整除;
(3) 存在一个 $x \in R$ , 使 $2 x + 1 = 3$ ;
(4) 至少有一个 $x \in Z, x$ 能被 2 和 3 整除.

容易判断, (1) (2) 不是命题. 语句（3）在（1）的基础上, 用短语 “存在一个” 对变量 $x$ 的取值进行限定; 语句（4）在（2）的基础上, 用 “至少有一个” 对变量 $x$ 的取值进行限定, 从而使 (3)(4) 变成了可以判断真假的陈述句,因此 (3)(4) 是命题.

定义

短语 “存在一个” “至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词 (existential quantifier), 并用符号 “ $\exists$ ” 表示. 含有存在量词的命题, 叫做存在量词命题.

常见的存在量词还有 “有些” “有一个” “对某些” “有的” 等.

例子

例如, 命题 “有的平行四边形是菱形” “有一个素数不是奇数” 都是存在量词命题.

定义

存在量词命题 “存在 $M$ 中的元素 $x, p (x)$ 成立” 可用符号简记为

$\exists x \in M, p (x) .$

例 2

判断下列存在量词命题的真假:
(1) 有一个实数 $x$ , 使 $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ ;
(2) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3) 有些平行四边形是菱形.

分析:

要判定存在量词命题 “ $\exists x \in M, p (x)$ ” 是真命题, 只需在集合 $M$ 中找到一个元素 $x$ , 使 $p (x)$ 成立即可; 如果在集合 $M$ 中, 使 $p (x)$ 成立的元素 $x$ 不存在, 那么这个存在量词命题是假命题.

解：

(1) 由于 $Δ = 2^{2} - 4 \times 3 = - 8 < 0$ , 因此一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ 无实根. 所以, 存在量词命题 “有一个实数 $x$ , 使 $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ ” 是假命题.
(2) 由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行, 因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线. 所以, 存在量词命题 “平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线” 是假命题.
(3) 由于正方形既是平行四边形又是菱形, 所以存在量词命题 “有些平行四边形是菱形” 是真命题.

练习

判断下列全称量词命题的真假:
(1) 每个四边形的内角和都是 $36 0^{\circ}$ ;
(2) 任何实数都有算术平方根;
(3) $\forall x \in {y ∣ y$ 是无理数 $}, x^{3}$ 是无理数.

判断下列存在量词命题的真假:
(1) 存在一个四边形, 它的两条对角线互相垂直;
(2) 至少有一个整数 $n$ , 使得 $n^{2} + n$ 为奇数;
(3) $\exists x \in {y ∣ y$ 是无理数 $}, x^{2}$ 是无理数.

1.7.2 全称量词命题和存在量词命题的否定

一般地, 对一个命题进行否定, 就可以得到一个新的命题, 这一新命题称为原命题的否定. 例如, “56 是 7 的倍数”的否定为 “ 56 不是 7 的倍数”, “空集是集合 $A = {1, 2, 3}$ 的真子集” 的否定为 “空集不是集合 $A = {1, 2, 3}$ 的真子集”. 下面, 我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定, 以及利用全称量词对存在量词命题进行否定.

一个命题和它的否定不能同时为真命题, 也不能同时为假命题, 只能一真一假.

探究

写出下列命题的否定:
(1) 所有的矩形都是平行四边形;
(2) 每一个素数都是奇数;
(3) $\forall x \in R, x + ∣ x ∣ ⩾ 0$ .
它们与原命题在形式上有什么变化?

上面三个命题都是全称量词命题, 即具有 “ $\forall x \in M, p (x)$ ” 的形式. 其中命题 (1)的否定是 “并非所有的矩形都是平行四边形”, 也就是说,“存在一个矩形不是平行四边形”;命题 (2) 的否定是 “并非每一个素数都是奇数”, 也就是说,“存在一个素数不是奇数”;命题（3）的否定是 “并非所有的 $x \in R, x + ∣ x ∣ ⩾ 0$ ”, 也就是说,“ $\exists x \in R, x + ∣ x ∣ < 0$ ”.

从命题形式看, 这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.

定理

一般来说, 对含有一个量词的全称量词命题进行否定, 我们只需把 “所有的” “任意一个” 等全称量词, 变成 “并非所有的” “并非任意一个” 等短语即可. 也就是说, 假定全称量词命题为 “ $\forall x \in M, p (x)$ ”, 则它的否定为 “并非 $\forall x \in M, p (x)$ ”, 也就是 “ $\exists x \in M, p (x)$ 不成立”.

定义

通常, 用符号 “ $\neg p (x) ”$ 表示 “ $p (x)$ 不成立”.

定理

对于含有一个量词的全称量词命题的否定, 有下面的结论:

全称量词命题:

$\forall x \in M, p (x),$

它的否定:

$\exists x \in M, \neg p (x) .$

也就是说, 全称量词命题的否定是存在量词命题.

例 3

写出下列全称量词命题的否定:
(1) 所有能被 3 整除的整数都是奇数;
(2) 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上;
(3) 对任意 $x \in Z, x^{2}$ 的个位数字不等于 3 .

解：

(1) 该命题的否定：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数.
(1) 该命题的否定: 存在一个四边形, 它的四个顶点不在同一个圆上.
(3) 该命题的否定: $\exists x \in Z, x^{2}$ 的个位数字等于 3 .

探究

写出下列命题的否定:
(1) 存在一个实数的绝对值是正数;
(2) 有些平行四边形是菱形;
(3) $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 3 = 0$ .
它们与原命题在形式上有什么变化?

这三个命题都是存在量词命题, 即具有 “ $\exists x \in M, p (x)$ ” 的形式. 其中命题 (1) 的否定是 “不存在一个实数, 它的绝对值是正数”, 也就是说,“所有实数的绝对值都不是正数”;命题（2）的否定是 “没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，“每一个平行四边形都不是菱形”;命题 (3) 的否定是 “不存在 $x \in R, x^{2} - 2 x + 3 = 0$ ”, 也就是说,“ $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 3 \neq = 0$ ”.

从命题形式看, 这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.

定理

一般来说, 对含有一个量词的存在量词命题进行否定, 我们只需把 “存在一个” “至少有一个” “有些” 等存在量词, 变成 “不存在一个” “没有一个” 等短语即可. 也就是说, 假定存在量词命题为 “ $\exists x \in M, p (x)$ ”, 则它的否定为 “不存在 $x \in M$ , 使 $p (x)$ 成立”, 也就是 “ $\forall x \in M, p (x)$ 不成立”.

定理

对含有一个量词的存在量词命题的否定, 有下面的结论:

存在量词命题:

$\exists x \in M, p (x),$

它的否定:

$\forall x \in M, \neg p (x) .$

也就是说, 存在量词命题的否定是全称量词命题.

例 4

写出下列存在量词命题的否定:
(1) $\exists x \in R, x + 2 ⩽ 0$ ;
(2) 有的三角形是等边三角形;
(3) 有一个偶数是素数.

解：

(1) 该命题的否定： $\forall x \in R, x + 2 > 0$ .
(2) 该命题的否定: 所有的三角形都不是等边三角形.
(3) 该命题的否定: 任意一个偶数都不是素数.

例 5

写出下列命题的否定, 并判断真假:
(1) 任意两个等边三角形都相似;
(2) $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 = 0$ .

解：

(1) 该命题的否定：存在两个等边三角形, 它们不相似. 因为任意两个等边三角形的三边成比例, 所以任意两个等边三角形都相似. 因此这是一个假命题.
(2) 该命题的否定: $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 \neq = 0$ . 因为对任意 $x \in R$ ,

$x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0,$

所以这是一个真命题.

练习

写出下列命题的否定:
(1) $\forall n \in Z, n \in Q$ ;
(2) 任意奇数的平方还是奇数;
(3) 每个平行四边形都是中心对称图形.

写出下列命题的否定:
(1) 有些三角形是直角三角形;
(2) 有些梯形是等腰梯形;
(3) 存在一个实数, 它的绝对值不是正数.

习题 1.7

复习巩固

判断下列全称量词命题的真假:
(1) 每一个末位是 0 的整数都是 5 的倍数;
(2) 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(3) 对任意负数 $x, x$ 的平方是正数;
(4) 梯形的对角线相等.

判断下列存在量词命题的真假:
(1) 有些实数是无限不循环小数;
(2) 存在一个三角形不是等腰三角形;
(3) 有些菱形是正方形;
(4) 至少有一个整数 $n, n^{2} + 1$ 是 4 的倍数.

写出下列命题的否定:
(1) $\forall x \in Z, ∣ x ∣ \in N$ ;
(2) 所有可以被 5 整除的整数，末位数字都是 0 ;
(3) $\exists x \in R, x + 1 ⩾ 0$ ;
(4) 存在一个四边形, 它的对角线互相垂直.

综合运用

判断下列命题的真假, 并写出这些命题的否定:
(1) 平面直角坐标系下每条直线都与 $x$ 轴相交;
(2) 每个二次函数的图象都是轴对称图形;
(3) 存在一个三角形, 它的内角和小于 $18 0^{\circ}$ ;
(4) 存在一个四边形, 它的四个顶点不在同一个圆上.

将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式, 并写出它们的否定:
(1) 平行四边形的对角线互相平分;
(2) 三个连续整数的乘积是 6 的倍数;
(3) 三角形不都是中心对称图形;
(4) 一元二次方程不总有实数根.

拓广探索

在本节, 我们介绍了命题的否定的概念, 知道一个命题的否定仍是一个命题, 它和原先的命题只能一真一假, 不能同真或同假.
在数学中, 有很多 “若 $p$ , 则 $q$ ” 形式的命题, 有的是真命题, 有的是假命题. 例如:

(1) 若 $x > 1$ , 则 $2 x + 1 > 5$ ; (假命题)
(2) 若四边形为等腰梯形, 则这个四边形的对角线相等. (真命题)

这里, 命题(1)(2)都是省略了量词的全称量词命题.
(1) 有人认为, (1)的否定是 “若 $x > 1$ , 则 $2 x + 1 ⩽ 5$ ”, (2)的否定是 “若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”. 你认为对吗? 如果不对, 请你正确地写出命题(1)(2)的否定.
(2) 请你列举几个 “若 $p$ , 则 $q$ ” 形式的省略了量词的全称量词命题, 分别写出它们的否定,并判断真假.