7.1 复数的概念

2024-06-12 22:17:38 新建

在解决求判别式小于 0 的实系数一元二次方程根的问题时, 一个自然的想法是, 能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样, 通过引进新的数而使实数集得到扩充, 从而使方程变得可解呢? 复数概念的引人与这种想法直接相关.

7.1.1 数系的扩充和复数的概念

从方程的角度看, 负实数能不能开平方, 就是方程 $x^{2} + a = 0 (a > 0)$ 有没有解, 进而可以归结为方程 $x^{2} + 1 = 0$ 有没有解.

思考

想一想, 这是为什么?

探究

我们知道, 方程 $x^{2} + 1 = 0$ 在实数集中无解. 联系从自然数集到实数集的扩充过程, 你能给出一种方法, 适当扩充实数集, 使这个方程有解吗?

回顾已有的数集扩充过程, 可以看到, 每一次扩充都与实际需求密切相关. 例如, 为了解决正方形对角线的度量,以及 $x^{2} - 2 = 0$ 这样的方程在有理数集中无解的问题, 人们把有理数集扩充到了实数集. 数集扩充后, 在实数集中规定的加法运算、乘法运算, 与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致, 并且加法和乘法都满足交换律和结合律, 乘法对加法满足分配律.

依照这种思想, 为了解决 $x^{2} + 1 = 0$ 这样的方程在实数系中无解的问题, 我们设想引入一个新数 $i$ , 使得 $x = i$ 是方程 $x^{2} + 1 = 0$ 的解, 即使得 $i^{2} = - 1$ .

i 是数学家欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783)最早引入的, 它取自 imaginary（想象的, 假想的）一词的词头. $i^{2} = i \cdot i$ .

思考

把新引进的数 $i$ 添加到实数集中, 我们希望数 $i$ 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算, 并希望加法和乘法都满足交换律、结合律, 以及乘法对加法满足分配律. 那么, 实数系经过扩充后, 得到的新数系由哪些数组成呢?

答

依照以上设想, 把实数 $b$ 与 $i$ 相乘, 结果记作 $b i$ ; 把实数 $a$ 与 $b i$ 相加, 结果记作 $a +$ $b i$ . 注意到所有实数以及 $i$ 都可以写成 $a + b i (a, b \in R)$ 的形式, 从而这些数都在扩充后的新数集中.

定义

我们把形如 $a + b i (a, b \in R)$ 的数叫做复数（complex number）, 其中 $i$ 叫做虚数单位 (imaginary unit). 全体复数构成的集合 $C = {a + b i ∣ a, b \in R}$ 叫做复数集（set of complex numbers). 这样, 方程 $x^{2} + 1 = 0$ 在复数集 $C$ 中就有解 $x = i$ 了.

复数通常用字母 $z$ 表示, 即 $z = a + b i (a, b \in R)$ . 以后不作特殊说明时, 复数 $z = a +$ $b i$ 都有 $a, b \in R$ , 其中的 $a$ 与 $b$ 分别叫做复数 $z$ 的实部（real part）与虚部（imaginary part).

在复数集 $C = {a + b i ∣ a, b \in R}$ 中任取两个数 $a + b i, c + d i (a, b, c, d \in R)$ , 我们规定：
$a + b i$ 与 $c + d i$ 相等当且仅当 $a = c$ 且 $b = d$ .

对于复数 $a + b i (a, b \in R)$ , 当且仅当 $b = 0$ 时, 它是实数; 当且仅当 $a = b = 0$ 时,它是实数 0 ; 当 $b \neq = 0$ 时, 它叫做虚数（imaginary number); 当 $a = 0$ 且 $b \neq = 0$ 时, 它叫做纯虚数.

例子

例如, $3 + 2 i, \frac{1}{2} - 3 i, - 3 - \frac{1}{2} i, - 0.2 i$ 都是虚数, 它们的实部分别是 $3, \frac{1}{2}$ , $- 3, 0$ , 虚部分别是 $2, - 3, - \frac{1}{2}, - 0.2$ , 并且其中只有 $- 0.2 i$ 是纯虚数.

思考

复数集 $C$ 与实数集 $R$ 之间有什么关系?

显然, 实数集 $R$ 是复数集 $C$ 的真子集, 即 $R  C$ .
这样, 复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 可以分类如下:
复数 $⎩ ⎨ ⎧ 实数 (b = 0), 虚数 (b \neq = 0) (当 a = 0 时为纯虚数).$
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系, 可用图 7.1-1 表示.

例 1

当实数 $m$ 取什么值时, 复数 $z = m + 1 + (m - 1) i$ 是下列数?
(1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数.

分析:

因为 $m \in R$ , 所以 $m + 1, m - 1$ 都是实数. 由复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 $m$ 的取值.

解:

(1) 当 $m - 1 = 0$ , 即 $m = 1$ 时, 复数 $z$ 是实数.
(2) 当 $m - 1 \neq = 0$ ，即 $m \neq = 1$ 时，复数 $z$ 是虚数.
(3) 当 $m + 1 = 0$ , 且 $m - 1 \neq = 0$ , 即 $m = - 1$ 时, 复数 $z$ 是纯虚数.

练习

说出下列复数的实部和虚部:

$- 2 + \frac{1}{3} i, 2 + i, \frac{2}{2}, - 3 i, i, 0.$

指出下列各数中, 哪些是实数, 哪些是虚数, 哪些是纯虚数. 为什么?

$2 + 7, 0.618, \frac{2}{7} i, 0, i, 5 i + 8, 3 - 92 i, i (1 - 3), 2 - 2 i .$

求满足下列条件的实数 $x, y$ 的值:
(1) $(x + y) + (y - 1) i = (2 x + 3 y) + (2 y + 1) i$ ;
(2) $(x + y - 3) + (x - 2) i = 0$ .

7.1.2 复数的几何意义

我们知道, 实数与数轴上的点一一对应, 因此实数可以用数轴上的点来表示. 复数有什么几何意义呢?

思考

根据复数相等的定义, 任何一个复数 $z = a + b i$ 都可以由一个有序实数对 $(a, b)$ 唯一确定; 反之也对. 由此你能想到复数的几何表示方法吗?

答

因为任何一个复数 $z = a + b i$ 都可以由一个有序实数对 $(a, b)$ 唯一确定, 并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对, 所以复数 $z = a + b i$ 与有序实数对 $(a, b)$ 是一一对应的. 而有序实数对 $(a, b)$ 与平面直角坐标系中的点是一一对应的, 所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

定义

如图 7.1-2, 点 $Z$ 的横坐标是 $a$ , 纵坐标是 $b$ , 复数 $z = a + b i$ 可用点 $Z (a, b)$ 表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, $x$ 轴叫做实轴, $y$ 轴叫做虚轴. 显然, 实轴上的点都表示实数; 除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数.

例子

例如, 复平面内的原点 $(0, 0)$ 表示实数 0 , 实轴上的点 $(2, 0)$ 表示实数 2 , 虚轴上的点 $(0, - 1)$ 表示纯虚数 $- i$ , 点 $(- 2, 3)$ 表示复数 $- 2 + 3 i$ 等.

定理

按照这种表示方法, 每一个复数, 有复平面内唯一的一个点和它对应; 反过来, 复平面内的每一个点, 有唯一的一个复数和它对应. 由此可知, 复数集 $C$ 中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系

复数 $z = a + b i 一一对应$ 复平面内的点 $Z (a, b)$

这是复数的一种几何意义.

思考

在平面直角坐标系中, 每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示, 而有序实数对与复数是一一对应的. 你能用平面向量来表示复数吗?

定理

如图 7.1-3, 设复平面内的点 $Z$ 表示复数 $z = a + b i$ , 连接 $OZ$ , 显然向量 $OZ$ 由点 $Z$ 唯一确定; 反过来, 点 $Z$ 也可以由向量 $OZ$ 唯一确定. 因此, 复数集 $C$ 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数 0 与零向量对应), 即

复数 $z = a + b i 一一对应$ 平面向量 $OZ$

这是复数的另一种几何意义.

在本书的第六章, 我们提到复数的这种几何表示是由韦塞尔在 1797 年提出的. 后来, 阿尔冈出书对此进行讨论, 并得到高斯的认同, 因此这种几何表示也称阿尔冈图 (Argand diagram). 正是这种直观的几何表示, 揭开了复数的神秘的、不可思议的 “面纱”, 确立了复数在数学中的地位.

为方便起见, 我们常把复数 $z = a + b i$ 说成点 $Z$ 或说成向量 $OZ$ , 并且规定, 相等的向量表示同一个复数.

定义

图 7.1-3 中向量 $OZ$ 的模叫做复数 $z = a + b i$ 的模 (modulus of a complex number) 或绝对值, 记作 $∣ z ∣$ 或 $∣ a + b i ∣$ . 即

$∣ z ∣ = ∣ a + b i ∣ = a^{2} + b^{2},$

其中 $a, b \in R$ .
如果 $b = 0$ , 那么 $z = a + b i$ 是一个实数 $a$ , 它的模就等于 $∣ a ∣$ ( $a$ 的绝对值).

例 2

设复数 $z_{1} = 4 + 3 i, z_{2} = 4 - 3 i$ .
(1) 在复平面内画出复数 $z_{1}, z_{2}$ 对应的点和向量;
(2) 求复数 $z_{1}, z_{2}$ 的模, 并比较它们的模的大小.

解:

(1) 如图 7.1-4, 复数 $z_{1}, z_{2}$ 对应的点分别为 $Z_{1}, Z_{2}$ , 对应的向量分别为 $O Z_{1}, O Z_{2}$

(2) $∣ z_{1} ∣ = ∣4 + 3 i ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 5$ ,
$∣ z_{2} ∣ = ∣4 - 3 i ∣ = 4^{2} + (- 3)^{2} = 5$ .

所以 $∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣$ .

思考

点 $Z_{1}, Z_{2}$ 有怎样的关系?

定义共轭复数

一般地, 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数 (conjugate complex number). 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数 $z$ 的共轴复数用 $\overset{z}{ˉ}$ 表示, 即如果 $z = a + b i$ , 那么 $\overset{z}{ˉ} = a - b i$ .

思考

如果 $z_{1}, z_{2}$ 是共轨复数, 那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系?

例 3

设 $z \in C$ , 在复平面内 $z$ 对应的点为 $Z$ , 那么满足下列条件的点 $Z$ 的集合是什么图形?
(1) $∣ z ∣ = 1$ ;
(2) $1 < ∣ z ∣ < 2$ .

解:

(1) 由 $∣ z ∣ = 1$ 得, 向量 $OZ$ 的模等于 1 , 所以满足条件 $∣ z ∣ = 1$ 的点 $Z$ 的集合是以原点 $O$ 为圆心, 以 1 为半径的圆.
(2) 不等式 $1 < ∣ z ∣ < 2$ 可化为不等式 ${∣ z ∣ < 2, ∣ z ∣ > 1 .$
不等式 $∣ z ∣ < 2$ 的解集是圆 $∣ z ∣ = 2$ 的内部所有的点组成的集合, 不等式 $∣ z ∣ > 1$ 的解集是圆 $∣ z ∣ = 1$ 外部所有的点组成的集合, 这两个集合的交集, 就是上述不等式组的解集, 也就是满足条件 $1 < ∣ z ∣ < 2$ 的点 $Z$ 的集合. 容易看出, 所求的集合是以原点 $O$ 为圆心, 以 1 及 2 为半径的两个圆所夹的圆环, 但不包括圆环的边界 (图 7.1-5).

练习

说出图中复平面内各点所表示的复数 (每个小方格的边长为 1 ).

在复平面内, 描出表示下列复数的点:
(1) $2 + 5 i$ ;
(2) $- 3 + 2 i$ ;
(3) $2 - 4 i$ ;
(4) $- 3 - i$ ;
(5) 5 ;
(6) $- 3 i$ .

已知复数 $2 + i, - 2 + 4 i, - 2 i, 4, \frac{3}{2} - 4 i$ ,
(1) 在复平面内画出这些复数对应的向量;
(2) 求这些复数的模.

习题 7.1

复习巩固

符合下列条件的复数一定存在吗? 若存在, 请举出例子; 若不存在, 请说明理由.
(1) 实部为 $- 2$ 的虚数;
(2) 虚部为 $- 2$ 的虚数;
(3) 虚部为 $- 2$ 的纯虚数.

当实数 $m$ 取什么值时，复数 $(m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 3 m) i$ 是下列数?
(1) 实数;
(2) 虚数;
(3) 纯虚数.

求适合下列方程的实数 $x$ 与 $y$ 的值:
(1) $(3 x + 2 y) + (5 x - y) i = 17 - 2 i$ ;
(2) $(x + y - 3) + (x - 4) i = 0$ .

如果 $P$ 是复平面内表示复数 $a + b i (a, b \in R)$ 的点, 分别指出在下列条件下点 $P$ 的位置.
(1) $a > 0, b > 0$ ;
(2) $a < 0, b > 0$ ;
(3) $a = 0, b ⩽ 0$ ;
(4) $b < 0$ .

求复数 $z_{1} = 3 + 4 i$ 及 $z_{2} = \frac{1}{2} - 2 i$ 的模, 并比较它们的模的大小.

综合运用

当实数 $m$ 取什么值时, 复平面内表示复数 $z = (m^{2} - 8 m + 15) + (m^{2} - 5 m - 14) i$ 的点分别满足下列条件?
(1) 位于第四象限;
(2) 位于第一象限或第三象限;
(3) 位于直线 $y = x$ 上.

在复平面内, $O$ 是原点, 向量 $O A$ 对应的复数是 $2 + i$ .
(1) 如果点 $A$ 关于实轴的对称点为点 $B$ , 求向量 $OB$ 对应的复数;
(2) 如果 (1) 中点 $B$ 关于虚轴的对称点为点 $C$ , 求点 $C$ 对应的复数.

设 $z \in C$ , 在复平面内 $z$ 对应的点为 $Z$ , 那么满足下列条件的点 $Z$ 的集合是什么图形?
(1) $∣ z ∣ = 3$ ;
(2) $2 ⩽ ∣ z ∣ < 5$ .

如果复数 $z$ 的实部为正数, 虚部为 3 , 那么在复平面内, 复数 $z$ 对应的点应位于怎样的图形上?

拓广探索

10.

已知复数 $z$ 的虚部为 $3$ , 在复平面内复数 $z$ 对应的向量的模为 2 , 求这个复数 $z$ .

11.

在复平面内指出与复数 $z_{1} = 1 + 2 i, z_{2} = 2 + 3 i, z_{3} = 3 - 2 i, z_{4} = - 2 + i$ 对应的点 $Z_{1}$ , $Z_{2}, Z_{3}, Z_{4}$ . 判断这 4 个点是否在同一个圆上, 并证明你的结论.