4.2 指数函数

2024-02-11 22:11:39 新建

对于幂 $a^{x} (a > 0)$ , 我们已经把指数 $x$ 的范围拓展到了实数. 上一章学习了函数的概念和基本性质, 通过对幂函数的研究, 进一步了解了研究一类函数的过程和方法. 下面继续研究其他类型的基本初等函数.

4.2.1 指数函数的概念

问题 1

随着中国经济高速增长, 人民生活水平不断提高, 旅游成了越来越多家庭的重要生活方式. 由于旅游人数不断增加, A, B 两地景区自 2001 年起采取了不同的应对措施, A 地提高了景区门票价格, 而 B 地则取消了景区门票. 表 4.2-1 给出了 A, B 两地景区 2001 年至 2015 年的游客人次以及逐年增加量.

比较两地景区游客人次的变化情况, 你发现了怎样的变化规律?

解

为了有利于观察规律, 根据表 4.2-1, 分别画出 A, B 两地景区采取不同措施后的 15 年游客人次的图象 (图 4.2-1 和图 4.2-2).

为了便于观察, 可以先根据表格中的数据描点, 然后用光滑的曲线将离散的点连起来.

观察图象和表格, 可以发现, A 地景区的游客人次近似于直线上升 (线性增长), 年增加量大致相等 (约为 10 万次); $B$ 地景区的游客人次则是非线性增长, 年增加量越来越大, 但从图象和年增加量都难以看出变化规律.

探究

我们知道, 年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的. 能否通过对 $B$ 地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢? 请你试一试.

做减法可以得到游客人次的年增加量, 做除法可以得到游客人次的年增长率. 增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量.

解

从 2002 年起, 将 $B$ 地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次, 可以得到

$\frac{2 0 0 2 年游客人次}{2 0 0 1 年游客人次} = \frac{3 0 9}{2 7 8} \approx 1.11, \frac{2 0 0 3 年游客人次}{2 0 0 2 年游客人次} = \frac{3 4 4}{3 0 9} \approx 1.11, \dots \dots \frac{2 0 1 5 年游客人次}{2 0 1 4 年游客人次} = \frac{1 2 4 4}{1 1 1 8} \approx 1.11 .$

结果表明, $B$ 地景区的游客人次的年增长率都约为 $1.11 - 1 = 0.11$ , 是一个常数.

像这样, 增长率为常数的变化方式, 我们称为指数增长. 因此, B 地景区的游客人次近似于指数增长.

显然, 从 2001 年开始, B 地景区游客人次的变化规律可以近似描述为:
1 年后, 游客人次是 2001 年的 $1.1 1^{1}$ 倍;
2 年后, 游客人次是 2001 年的 $1.1 1^{2}$ 倍;
3 年后, 游客人次是 2001 年的 $1.1 1^{3}$ 倍;
$\dots \dots$
$x$ 年后, 游客人次是 2001 年的 $1.1 1^{x}$ 倍.

如果设经过 $x$ 年后的游客人次为 2001 年的 $y$ 倍, 那么

$y = 1.1 1^{x} (x \in [0, + \infty)) . (①)$

这是一个函数, 其中指数 $x$ 是自变量.

问题 2

当生物死亡后, 它机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率), 大约每经过 5730 年衰减为原来的一半, 这个时间称为 “半衰期”. 按照上述变化规律, 生物体内碳 14 含量与死亡年数之间有怎样的关系?

设死亡生物体内碳 14 含量的年衰减率为 $p$ , 如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位, 那么
死亡 1 年后, 生物体内碳 14 含量为 $(1 - p)^{1}$ ;
死亡 2 年后, 生物体内碳 14 含量为 $(1 - p)^{2}$ ;
死亡 3 年后, 生物体内碳 14 含量为 $(1 - p)^{3}$ ;
$\dots \dots$
死亡 5730 年后, 生物体内碳 14 含量为 $(1 - p)^{5730}$ .
根据已知条件, $(1 - p)^{5730} = \frac{1}{2}$ , 从而 $1 - p = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{5 7 3 0}}$ , 所以 $p = 1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{5 7 3 0}}$ .
设生物死亡年数为 $x$ , 死亡生物体内碳 14 含量为 $y$ , 那么 $y = (1 - p)^{x}$ , 即

$y = ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{5 7 3 0}})^{x} (x \in [0, + \infty)) . (②)$

这也是一个函数, 指数 $x$ 是自变量. 死亡生物体内碳 14 含量每年都以 $1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{5 7 3 0}}$ 的衰减率衰减. 像这样, 衰减率为常数的变化方式, 我们称为指数衰减. 因此, 死亡生物体内碳 14 含量呈指数衰减.

如果用字母 $a$ 代替上述 ① ② 两式中的底数 1.11 和 $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5 7 3 0}}$ , 那么函数 $y = 1.1 1^{x}$ 和 $y =$ $((\frac{1}{2})^{\frac{1}{5 7 3 0}})^{x}$ 就可以表示为

$y = a^{x}$

的形式, 其中指数 $x$ 是自变量, 底数 $a$ 是一个大于 0 且不等于 1 的常量.

定义指数函数

一般地, 函数 $y = a^{x} (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 叫做指数函数（exponential function), 其中指数 $x$ 是自变量, 定义域是 $R$ .

例 1

已知指数函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ , 且 $f (3) = π$ , 求 $f (0), f (1)$ , $f (- 3)$ 的值.

分析:

要求 $f (0), f (1), f (- 3)$ 的值, 应先求出 $f (x) = a^{x}$ 的解析式, 即先求 $a$ 的值.

解:

因为 $f (x) = a^{x}$ , 且 $f (3) = π$ , 则 $a^{3} = π$ , 解得 $a = π^{\frac{1}{3}}$ , 于是

$f (x) = π^{\frac{x}{3}} .$

所以, $f (0) = π^{0} = 1, f (1) = π^{\frac{1}{3}} = 3 π, f (- 3) = π^{- 1} = \frac{1}{π}$ .

例 2

(1) 在问题 1 中, 如果平均每位游客出游一次可给当地带来 1000 元门票之外的收入, A 地景区的门票价格为 150 元, 比较这 15 年间 A, B 两地旅游收入变化情况.
(2) 在问题 2 中，某生物死亡 10000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几?

解：

(1) 设经过 $x$ 年, 游客给 $A, B$ 两地带来的收人分别为 $f (x)$ 和 $g (x)$ , 则

$f (x) = 1150 \times (10 x + 600), g (x) = 1000 \times 278 \times 1.1 1^{x} .$

利用计算工具可得，
当 $x = 0$ 时, $f (0) - g (0) = 412000$ .
当 $x \approx 10.22$ 时, $f (10.22) \approx g (10.22)$ .

结合图 4.2-3 可知:
当 $x < 10.22$ 时, $f (x) > g (x)$ ,
当 $x > 10.22$ 时, $f (x) < g (x)$ .
当 $x = 14$ 时, $g (14) - f (14) \approx 347303$ .

这说明, 在 2001 年, 游客给 $A$ 地带来的收人比 $B$ 地多 412000 万元; 随后 10 年, 虽然 $f (x) > g (x)$ , 但 $g (x)$ 的增长速度大于 $f (x)$ ; 根据上述数据, 并考虑到实际情况, 在 2011 年 3 月某个时刻就有 $f (x) = g (x)$ , 这时游客给 $A$ 地带来的收入和 $B$ 地差不多; 此后, $f (x) < g (x)$ , 游客给 $B$ 地带来的收入超过了 $A$ 地; 由于 $g (x)$ 增长得越来越快, 在 2015 年, $B$ 地的收人已经比 $A$ 地多 347303 万元了.
(2) 设生物死亡 $x$ 年后, 它体内碳 14 含量为 $h (x)$ .
如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位, 那么

$h (x) = ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{5 7 3 0}})^{x} .$

当 $x = 10000$ 时, 利用计算工具求得 $h (10000) = (\frac{1}{2})^{\frac{1 0 0 0 0}{5 7 3 0}} \approx 0.30$ .
所以, 生物死亡 10000 年后, 它体内碳 14 含量衰减为原来的约 $30 %$ .

在实际问题中, 经常会遇到类似于例 2(1) 的指数增长模型: 设原有量为 $N$ , 每次的增长率为 $p$ , 经过 $x$ 次增长, 该量增长到 $y$ , 则 $y = N (1 + p)^{x} (x \in N)$ . 形如 $y = k a^{x} (k \in R$ ,且 $k \neq = 0; a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.

练习

下列图象中, 有可能表示指数函数的是 ( ).

已知函数 $y = f (x), x \in R$ , 且 $f (0) = 3, \frac{f ( 0 . 5 )}{f ( 0 )} = 2, \frac{f ( 1 )}{f ( 0 . 5 )} = 2, \dots, \frac{f ( 0 . 5 n )}{f ( 0 . 5 ( n - 1 ) )} = 2, n \in N^{*}$ , 求函数 $y = f (x)$ 的一个解析式.

在某个时期, 某湖泊中的蓝藻每天以 $6.25 %$ 的增长率呈指数增长, 那么经过 30 天, 该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍? (可以使用计算工具)

阅读与思考

放射性物质的衰减

本节问题 2 中的碳 14 是一种著名的放射性物质, 像铀 235 、锶 90 、碘 131 、铯 137、镭 226 等也都是放射性物质. 放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量, 发出射线的物质. 在一个给定的单位时间内, 放射性物质的质量会按某个衰减率衰减. 一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况, 这个时间被称做半衰期. 那么连续两个半衰期是否就是一个 “全衰期”（放射性物质质量衰减为 0 所用的时间)?

实际上, 在连续两个半衰期里, 放射性物质将衰减为原有质量的 $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ .所以, 连续两个半衰期并非是一个全衰期.

在问题 2 中, 我们知道碳 14 的半衰期为 5730 年, 如果 $C_{0}$ 是碳 14 的初始质量, 那么经过 $t$ 年后, 碳 14 所剩的质量 $C (t) = C_{0} (\frac{1}{2})^{\frac{t}{5 7 3 0}}$ .

一般地, 如果某物质的半衰期为 $h$ , 那么经过时间 $t$ 后, 该物质所剩的质量 $Q (t) = Q_{0} (\frac{1}{2})^{\frac{t}{h}}$ , 其中 $Q_{0}$ 是该物质的初始质量. 你能说明理由吗?

如果某函数呈指数增长, 那么称函数值增长为原来两倍所用的时间为 “倍增期”. 你能通过上网查询, 给出一个倍增的指数函数模型实例吗?

4.2.2 指数函数的图象和性质

下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法, 进一步研究指数函数. 首先画出指数函数的图象, 然后借助图象研究指数函数的性质.

过程

先从简单的函数 $y = 2^{x}$ 开始.
请同学们完成 $x, y$ 的对应值表 4.2-2, 并用描点法画出函数 $y = 2^{x}$ 的图象 (图 4.2-4).

为了得到指数函数 $y = a^{x} (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 的性质, 我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.

探究

画出函数 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的图象, 并与函数 $y = 2^{x}$ 的图象进行比较, 它们有什么关系?能否利用函数 $y = 2^{x}$ 的图象, 画出函数 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的图象?

解

因为 $y = (\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ , 点 $(x, y)$ 与点 $(- x, y)$ 关于 $y$ 轴对称, 所以函数 $y = 2^{x}$ 图象上任意一点 $P (x, y)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $P_{1} (- x, y)$ 都在函数 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的图象上, 反之亦然. 由此可知, 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 $y$ 轴对称. 根据这种对称性, 就可以利用一个函数的图象, 画出另一个函数的图象, 比如利用函数 $y = 2^{x}$ 的图象, 画出 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的图象 (图 4.2-5).

探究

选取底数 $a (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 的若干个不同的值, 在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象. 观察这些图象的位置、公共点和变化趋势, 它们有哪些共性? 由此你能概括出指数函数 $y = a^{x} (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 的值域和性质吗?

解

如图 4.2-6, 选取底数 $a$ 的若干值, 用信息技术画图, 发现指数函数 $y = a^{x}$ 的图象按底数 $a$ 的取值, 可分为 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种类型. 因此, 指数函数的性质也可以分 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种情况进行研究.

一般地, 指数函数的图象和性质如表 4.2-3 所示.

例 3

比较下列各题中两个值的大小:
(1) $1 . 7^{2.5}, 1 . 7^{3}$ ;
(2) $0 . 8^{- 2}, 0 . 8^{- 3}$ ;
(3) $1 . 7^{0.3}, 0 . 9^{3.1}$ .

分析：

对于 (1) (2), 要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值, 因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较; 对于 (3), $1 . 7^{0.3}$ 和 $0 . 9^{3.1}$ 不能看作某一个指数函数的两个函数值. 可以利用函数 $y = 1 . 7^{x}$ 和 $y = 0 . 9^{x}$ 的单调性, 以及 “ $x = 0$ 时, $y = 1$ ”这条性质把它们联系起来.

解:

(1) $1 . 7^{2.5}$ 和 $1 . 7^{3}$ 可看作函数 $y = 1 . 7^{x}$ 当 $x$ 分别取 2.5 和 3 时所对应的两个函数值.
因为底数 $1.7 > 1$ , 所以指数函数 $y = 1 . 7^{x}$ 是增函数.
因为 $2.5 < 3$ , 所以 $1 . 7^{2.5} < 1 . 7^{3}$ .
(2) 同 (1) 理, 因为 $0 < 0.8 < 1$ , 所以指数函数 $y = 0 . 8^{x}$ 是减函数.
因为 $- 2 > - 3$ , 所以 $0 . 8^{- 2} < 0 . 8^{- 3}$ .
(3) 由指数函数的性质知

$1 . 7^{0.3} > 1 . 7^{0} = 1, 0 . 9^{3.1} < 0 . 9^{0} = 1,$

所以 $1 . 7^{0.3} > 0 . 9^{3.1}$ .

由例 3 可以看到, 利用指数函数的单调性, 通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系.

例 4

如图 4.2-7, 某城市人口呈指数增长.
(1) 根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期);
(2) 该城市人口从 80 万人开始, 经过 20 年会增长到多少万人?

分析：

(1) 因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的, 所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.
(2) 要计算 20 年后的人口数, 关键是要找到 20 年与倍增期的数量关系.

解：

(1) 观察图 4.2-7, 发现该城市人口经过 20 年约为 10 万人, 经过 40 年约为 20 万人, 即由 10 万人口增加到 20 万人口所用的时间约为 20 年, 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为 20 年.
(2) 因为倍增期为 20 年, 所以每经过 20 年,人口将翻一番. 因此, 从 80 万人开始, 经过 20 年, 该城市人口大约会增长到 160 万人.

练习

在同一直角坐标系中画出函数 $y = 3^{x}$ 和 $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 的图象, 并说明它们的关系.

比较下列各题中两个值的大小:
(1) $6^{2}, 7^{2}$ ;
(2) $0 . 3^{- 3.5}, 0 . 3^{- 2.3}$ ;
(3) $1 . 2^{0.5}, 0 . 5^{1.2}$ .

体内癌细胞初期增加得很缓慢, 但到了晚期就急剧增加, 画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.

习题 4.2

复习巩固

求下列函数的定义域:
(1) $y = 2^{3 - x}$ ;
(2) $y = 3^{2 x + 1}$ ；
(3) $y = (\frac{1}{2})^{5 x}$ ;
(4) $y = 0 . 7^{\frac{1}{x}}$ .

一种产品原来的年产量是 $a$ 件, 今后 $m$ 年内, 计划使产量平均每年比上一年增加 $p %$ , 写出年产量 $y$ (单位: 件) 关于经过的年数 $x$ 的函数解析式.

比较满足下列条件的 $m, n$ 的大小:
(1) $2^{m} < 2^{n}$ ;
(2) $0 . 2^{m} < 0 . 2^{n}$ ;
(3) $a^{m} < a^{n} (0 < a < 1)$ ;
(4) $a^{m} > a^{n} (a > 1)$ .

设函数 $f (x) = Q_{0} (1 + r)^{x}$ , 且 $f (10) = 20.23, f (11) = 23.26$ .
(1) 求函数 $f (x)$ 的增长率 $r$ ;
(2) 求 $f (12)$ 的值.

综合运用

求下列函数可能的一个解析式:
(1) 函数 $f (x)$ 的数据如下表:

(2) 函数 $g (x)$ 的图象如下:

比较下列各题中两个值的大小:
(1) $3^{0.8}, 3^{0.7}$ ;
(2) $0.7 5^{- 0.1}, 0.7 5^{0.1}$ ;
(3) $1.0 1^{2.7}, 1.0 1^{3.5}$ ;
(4) $0.9 9^{3.3}, 0.9 9^{4.5}$ .

当死亡生物组织内碳 14 的含量不足死亡前的千分之一时, 用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了. 如果死亡生物组织内的碳 14 经过九个 “半衰期” 后, 那么用一般的放射性探测器能测到碳 14 吗?

按复利计算利息的一种储蓄, 本金为 $a$ (单位: 元), 每期利率为 $r$ , 本利和为 $y$ (单位: 元), 存期数为 $x$ .
(1) 写出本利和 $y$ 关于存期数 $x$ 的函数解析式;
(2) 如果存人本金 1000 元, 每期利率为 $2.25 %$ , 试计算 5 期后的本利和.

复利是一种计算利息的方法, 即把前一期的利息和本金加在一起算作本金, 再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.

拓广探索

已知函数 $y = a (\frac{1}{2})^{∣ x ∣} + b$ 的图象过原点, 且无限接近直线 $y = 2$ 但又不与该直线相交.
(1) 求该函数的解析式, 并画出图象;
(2) 判断该函数的奇偶性和单调性.

10.

已知 $f (x) = a^{x}, g (x) = (\frac{1}{a})^{x} (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ ,
(1) 讨论函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的单调性.
(2) 如果 $f (x) < g (x)$ , 那么 $x$ 的取值范围是多少?

信息技术应用

探究指数函数的性质

函数图象是研究函数性质和进一步理解其概念的重要载体. 利用信息技术强大的作图以及对图象和数据的分析功能, 例如函数图象的动态演示, 引起图象变化的关键因素分析, 图象的局部放大和缩小等, 有利于我们观察函数的整体变化情况, 并考察其中的细节, 从而获得大量关于函数特点的信息. 这将极大地方便我们归纳、概括函数的性质以及发现不同函数之间的区别与联系. 下面，我们就利用信息技术来探究指数函数的性质.

用信息技术绘制函数 $y = a^{x} (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 的图象. 由于底数 $a$ 可取大于 0 且不等于 1 的所有实数, 所以不妨用一端固定于 $y$ 轴的水平线段 $P A$ 的长度来表示底数 $a$ 的值, 即点 $A$ 的横坐标 $x_{A}$ 显示的就是 $a$ 的取值.
如图 1, 从左向右拖动点 $A (0 < x_{A} < 1)$ , 则 $x_{A}$ 的值逐渐增大. 当 $x_{A}$ 的值越来越接近于 1 时, 图象就越来越接近于直线 $y = 1$ ; 当 $x_{A} = 1$ 时, 图象就是直线 $y = 1$ ; 继续向右拖动点 $A (x_{A} > 1)$ , 如图 2, 图象发生了变化, 随着 $x_{A}$ 的值逐渐增大, 在第一象限内, 图象越来越接近于 $y$ 轴, 在第二象限内, 图象越来越接近于 $x$ 轴.
根据图 1 和图 2, 可以容易地发现指数函数的下列性质:
(1) 所有函数的图象都过点 $(0, 1)$ .
(2) 所有函数的定义域都是 $(- \infty, + \infty)$ , 值域都是 $(0, + \infty)$ .
(3) 在图 1 中, 当 $0 < a < 1$ 时, 函数图象均呈下降趋势, 即函数为减函数;在图 2 中, 当 $a > 1$ 时, 函数图象均呈上升趋势, 即函数为增函数.

接下来, 请你思考和探究下列问题:

继续观察图 1 和图 2, 当自变量 $x$ 取同一个数时, 对应的函数值 $y$ 的大小关系是什么，你从中发现了什么规律?
类似地, 你可以利用信息技术绘制幂函数 $y = x^{α}$ 的图象, 通过改变 $α$ 的大小, 认识幂函数的变化规律.