1.4 集合中元素的个数

在研究集合时, 经常遇到有关集合中元素的个数问题.

看一个问题. 某超市进了两次货, 第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共 6 种, 第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共 4 种, 两次一共进了几种货?

回答两次一共进了 $10(=6+4)$ 种, 显然是不对的. 让我们试着从集合的角度考虑这个问题.

用集合 $A$ 表示第一次进货的品种, 用集合 $B$ 表示第二次进货的品种, 就有
$A=\{$ 圆珠笔, 钢笔, 橡皮, 笔记本, 方便面, 汽水 $\}$,
$B=\{$ 圆珠笔, 铅笔, 火腿肠, 方便面 $\}$.

这里 $\mathrm{card}(A)=6,\mathrm{card}(B)=4$. 求两次一共进了几种货, 这个问题指的是求 $\mathrm{card}(A\cup B)$. 这个例子中, 两次进的货里有相同的品种, 相同的品种数实际就是 $\mathrm{card}(A\cap B)$.

$\mathrm{card}(A),\mathrm{card}(B),\mathrm{card}(A\cup B),\mathrm{card}(A\cap B)$ 之间有什么关系呢?

可以算出

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{card}(A\cup B)=8,\\ & \mathrm{card}(A\cap B)=2.\end{array}$$

一般地, 对任意两个有限集合 $A,B$, 有

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$

再来看一个问题. 学校先举办了一次田径运动会, 某班有 8 名同学参赛, 又举办了一次球类运动会, 这个班有 12 名同学参赛, 两次运动会都参赛的有 3 人.两次运动会中, 这个班共有多少名同学参赛?

用集合 $A$ 表示田径运动会参赛的学生, 用集合 $B$ 表示球类运动会参赛的学生, 就有
$A=\{x\mid x$ 是田径运动会参赛的学生 $\}$,
$B=\{x\mid x$ 是球类运动会参赛的学生 $\}$,

那么

$A\cap B=\{x\mid x$ 是两次运动会都参赛的学生 $\}$,
$A\cup B=\{x\mid x$ 是所有参赛的学生 $\}$,

$$\begin{array}{rl}\mathrm{card}(A\cup B)& =\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)\\ & =8+12-3=17.\end{array}$$

所以, 在两次运动会中, 这个班共有 17 名同学参赛.

我们也可以用 Venn 图来求解.

在上图中相应于 $A\cap B$ 的区域里先填上 $3(\mathrm{card}(A\cap B)=3)$, 再在 $A$ 中不包括 $A\cap B$ 的区域里填上 $5(\mathrm{card}(A)-\mathrm{card}(A\cap B)=5)$, 在 $B$ 中不包括 $A\cap B$ 的区域里填上 $9(\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)=9)$.最后把这三个数加起来得 17 , 这就是 $\mathrm{card}(A\cup B)$.

这里的 3 是表示元素的个数, 而不是元素.图中我们特别加上括号,另外两个数 5 , 9 也一样.

这种图解法对于解比较复杂的问题 (例如涉及三个以上集合的并、交的问题）更能显示出它的优越性. 对于有限集合 $A,B,C$, 你能发现 $\mathrm{card}(A\cup B\cup C),\mathrm{card}(A),\mathrm{card}(B),\mathrm{card}(C),\mathrm{card}(A\cap B),\mathrm{card}(B\cap C)$, $\mathrm{card}(A\cap C),\mathrm{card}(A\cap B\cap C)$ 之间的关系吗? 通过一个具体的例子, 算一算.

有限集合中元素的个数, 我们可以一一数出来. 而对于元素个数无限的集合, 如

$$\begin{array}{rl}& A=\{1,2,3,4,\cdots ,n,\cdots \},\\ & B=\{2,4,6,8,\cdots ,2n,\cdots \},\end{array}$$

我们无法数出集合中元素的个数, 但可以比较这两个集合中元素个数的多少. 你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗?