6.1 平面向量的概念

2024-05-13 22:29:39 新建

我们知道, 力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量. 本节我们将通过对这些量的抽象, 形成向量概念及其表示方法; 通过研究向量之间的一些特殊关系, 初步认识向量的一些特征.

6.1.1 向量的实际背景与概念

例子

在本章引言中, 小船位移的大小是 $A, B$ 两地之间的距离 $15 n$ mile, 位移的方向是东南方向; 小船航行速度的大小是 $10 n$ mile/h, 速度的方向是东南方向. 又如, 物体受到的重力是坚直向下的 (图 6.1-1), 物体的质量越大, 它受到的重力越大; 物体在液体中受到的浮力是坚直向上的 (图 6.1-2), 物体浸在液体中的体积越大, 它受到的浮力越大.

力、位移、速度等有各自的特性, 而 “既有大小, 又有方向” 是它们的共同属性. 我们知道, 从一支笔、一棵树、一本书 $\dots$ 中, 可以抽象出只有大小的数量 “ 1 ”. 类似地, 我们可以对力、位移、速度 $\dots$ 这些量进行抽象, 形成一种新的量.

定义向量数量

在数学中, 我们把既有大小又有方向的量叫做向量 (vector), 而把只有大小没有方向的量称为数量,

例子

如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量.

思考

物理学中常称向量为矢量, 数量为标量, 你还能举出物理学中的一些向量和数量吗?

6.1.2 向量的几何表示

由于数量可以用实数表示, 而实数与数轴上的点一一对应, 所以数量可用数轴上的点表示, 而且不同的点表示不同的数量. 那么, 该如何表示向量呢?

例子

我们仍以位移为例, 小船以 $A$ 为起点, $B$ 为终点, 我们可以用连接 $A, B$ 两点的线段长度代表小船行进的距离, 并在终点 $B$ 处加上箭头表示小船行驶的方向. 于是, 这条 “带有方向的线段” 就可以用来表示位移. 受此启发, 我们可以用带箭头的线段来表示向量,线段按一定比例 (标度) 画出, 它的长短表示向量的大小, 箭头的指向表示向量的方向.

定义有向线段

通常, 在线段 $A B$ 的两个端点中, 规定一个顺序, 假设 $A$ 为起点, $B$ 为终点, 我们就说线段 $A B$ 具有方向, 具有方向的线段叫做有向线段（directed line segment） (图 6.1-3).通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向. 以 $A$ 为起点、 $B$ 为终点的有向线段记作 $A B$ , 线段 $A B$ 的长度也叫做有向线段 $A B$ 的长度, 记作 $∣ A B ∣$ .

表示有向线段时，起点一定要写在终点的前面．

有向线段包含三个要素: 起点、方向、长度. 知道了有向线段的起点、方向和长度, 它的终点就唯一确定了.

向量可以用有向线段 $A B$ 来表示, 我们把这个向量记作向量 $A B$ . 有向线段的长度 $∣ A B ∣$ 表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 用有向线段表示向量, 使向量有了直观形象.

定义向量

向量 $A B$ 的大小称为向量 $A B$ 的长度 (或称模), 记作 $∣ A B ∣$ . 长度为 0 的向量叫做零向量 (zero vector), 记作 $0$ .长度等于 1 个单位长度的向量, 叫做单位向量 (unit vector).

向量也可以用字母 $a, b, c, \dots$ 表示.

印刷用黑体 $a$ , 书写用 $a$ .

例 1

在图 6.1-4 中, 分别用向量表示 $A$ 地至 $B, C$ 两地的位移, 并根据图中的比例尺, 求出 $A$ 地至 $B, C$ 两地的实际距离（精确到 $1 km$ ).

解:

$A B$ 表示 $A$ 地至 $B$ 地的位移，且 $∣ A B ∣ \approx$ ;
$A C$ 表示 $A$ 地至 $C$ 地的位移, 且 $∣ A C ∣ \approx$ .

6.1.3 相等向量与共线向量

下面, 我们通过向量之间的关系进一步认识向量.

定义平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 (parallel vectors). 如图 6.1-5, 用有向线段表示的向量 $a$ 与 $b$ 是两个平行向量.向量 $a$ 与 $b$ 平行, 记作 $a // b$ .

我们规定：零向量与任意向量平行, 即对于任意向量 $a$ , 都有 $0 // a$ .

定义相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 (equal vectors). 如图 6.1-6, 用有向线段表示的向量 $a$ 与 $b$ 相等, 记作 $a = b$ .

定理

任意两个相等的非零向量, 都可用同一条有向线段表示, 并且与有向线段的起点无关; 同时, 两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量, 因为向量完全由它的模和方向确定.

定义共线向量

如图 6.1-7, $a, b, c$ 是一组平行向量, 任作一条与 $a$ 所在直线平行的直线 $l$ , 在 $l$ 上任取一点 $O$ , 则可在 $l$ 上分别作出 $O A = a, OB = b, OC = c$ . 这就是说, 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上, 因此, 平行向量也叫做共线向量 (collinear vectors).

例 2

如图 6.1-8, 设 $O$ 是正六边形 $A BC D EF$ 的中心.
(1) 写出图中的共线向量;
(2) 分别写出图中与 $O A, OB, OC$ 相等的向量.

解:

(1)
$O A, CB, D O, FE$ 是共线向量;
$OB, D C, EO, A F$ 是共线向量;
$OC, A B, E D, FO$ 是共线向量.
(2)
$O A = CB = D O$ ;
$OB = D C = EO$ ;
$OC = A B = E D = FO$ .

练习

下列量中哪些是向量?
悬挂物受到的拉力, 压强, 摩擦力, 频率, 加速度.

画两条有向线段, 分别表示一个坚直向下、大小为 $18 N$ 的力和一个水平向左、大小为 $28 N$ 的力. (用 $1 cm$ 长表示 $10 N$ )

指出图中各向量的长度. (规定小方格的边长为 0.5 )

将向量用具有同一起点 $O$ 的有向线段表示.
(1) 当 $OM$ 与 $ON$ 是相等向量时, 判断终点 $M$ 与 $N$ 的位置关系;
(2) 当 $OM$ 与 $ON$ 是平行向量, 且 $∣ OM ∣ = 2∣ ON ∣ = 1$ 时, 求向量 $MN$ 的长度, 并判断 $MN$ 的方向与 $ON$ 的方向之间的关系.

习题 6.1

复习巩固

在如图所示的坐标纸 (规定小方格的边长为 1) 中, 用直尺和圆规画出下列向量:
(1) $∣ O A ∣ = 4$ , 点 $A$ 在点 $O$ 正南方向;
(2) $∣ OB ∣ = 22$ , 点 $B$ 在点 $O$ 北偏西 $4 5^{\circ}$ 方向;
(3) $∣ OC ∣ = 2$ , 点 $C$ 在点 $O$ 南偏西 $3 0^{\circ}$ 方向.

如图, 点 $O$ 是平行四边形 $A BC D$ 的对角线的交点, 且 $O A = a, OB = b, A B = c$ , 分别写出 $A BC D$ 和折线 MPQRST 中与 $a, b, c$ 相等的向量.

综合运用

判断下列结论是否正确（正确的在括号内打 “ $✓$ ”, 错误的打 “ $\times$ ”), 并说明理由.
(1) 若 $a$ 与 $b$ 都是单位向量, 则 $a = b$ . $()$
(2) 方向为南偏西 $6 0^{\circ}$ 的向量与北偏东 $6 0^{\circ}$ 的向量是共线向量. $()$
(3) 直角坐标平面上的 $x$ 轴、 $y$ 轴都是向量. $()$
(4) 若 $a$ 与 $b$ 是平行向量, 则 $a = b$ . $()$
(5) 若用有向线段表示的向量 $A M$ 与 $A N$ 不相等, 则点 $M$ 与 $N$ 不重合. $()$
(6) 海拔、温度、角度都不是向量. $()$

拓广探索

如图, 在矩形 $A BC D$ 中, $A B = 2 BC = 2, M, N$ 分别为边 $A B$ , $C D$ 的中点, 在以 $A, B, C, D, M, N$ 为起点和终点的所有有向线段表示的向量中, 相等的向量共有多少对?

阅读与思考

向量及向量符号的由来

向量最初应用于物理学, 被称为矢量. 很多物理量, 如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量. 向量的概念萌芽于两千多年前, 大约在公元前 350 年, 古希腊著名学者亚里士多德 (Aristotle, 公元前 384 - 前 322) 就知道了力可以表示成向量. “向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段. 最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿（Isaac Newton，1642-1727).

向量是一种带几何性质的量, 除零向量外, 总可以画出 “箭头表示方向, 线段长表示大小” 的有向线段来表示它. 1806 年, 瑞士人阿尔冈 (J. R. Argand, 1768-1822) 以 $A B$ 表示有向线段或向量. 1827 年, 默比鸟斯（A. F. Möbius, 1790-1868) 以 $A B$ 表示起点为 $A$ , 终点为 $B$ 的向量, 这种用法被数学家广泛接受. 另外, 哈密顿 (W. R. Hamilton, 1805-1865) 、吉布斯 (J. W. Gibbs, 1839-1903）等人则以小写希腊字母表示向量. 后来, 字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行, 尤其用在手写稿中; 为了方便印刷, 人们又用粗黑体小写字母 $a$ , $b$ 等表示向量. 这两种符号一直沿用至今.

莱布尼茨 (G. W. Leibniz, 1646-1716) 曾经从位置几何学研究的视角进行过预想: “我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素, 即使在没有任何图形的情况下, 它也能有利于表达思想、表达事物的本质. 我的这个新系统能紧跟可见的图形, 以一种自然的、分析的方式, 通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明.” 莱布尼茨所说的 “有新特点的元素” 和 “新系统” 就是逐渐形成和发展起来的向量及其理论.

向量进入数学并得到发展, 是从复数的几何表示开始的. 1797 年, 丹麦测量学家韦塞尔 (Caspar Wessel, 1745-1818) 把复数表示为向量, 并利用向量定义复数运算. 他把坐标平面上的点用向量表示出来, 并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题. 人们逐步接受了复数, 也学会了利用复数表示、研究平面中的向量.

发展到现在, 向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科, 以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用, 成为解决这些学科或领域中各种问题的有力工具.

思考

你能说一说用符号表示向量所起的重要作用吗?