5.8 小结

1.

写出与下列各角终边相同的角的集合 $S$, 并且把 $S$ 中适合不等式 $-2\pi ⩽\beta <4\pi$ 的元素 $\beta$ 写出来:
(1) $\frac{\pi }{4}$;
(2) $-\frac{2}{3}\pi$;
(3) $\frac{12}{5}\pi$;
(4) 0 .

2.

一个扇形的弧长与面积的数值都是 5 , 求这个扇形中心角的度数（精确到 $1^{\circ }$ ).

3.

(1) 已知 $\cos \phi =\frac{1}{4}$, 求 $\sin \phi ,\tan \phi$.
(2) 已知 $\sin x=2\cos x$, 求角 $x$ 的三个三角函数值.

4.

已知 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$, 计算:
(1) $\frac{\sin \alpha +2\cos \alpha }{5\cos \alpha -\sin \alpha }$
(2) $\frac{1}{2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha }$;
(3) $\sin \alpha \cos \alpha$;
(4) $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2$.

5.

计算 (可用计算工具, 第 (2) (3)题精确到 0.0001 ):
(1) $\sin \frac{25}{6}\pi +\cos \frac{25}{3}\pi +\tan \left(-\frac{25}{4}\pi \right)$;
(2) $\sin 2+\cos 3+\tan 4$;
(3) $\cos (\sin 2)$.

6.

设 $\pi <x<2\pi$, 填表:

7.

求下列函数的最大值、最小值, 并求使函数取得最大、最小值的 $x$ 的集合:
(1) $y=\sqrt{2}+\frac{\sin x}{\pi }$;
(2) $y=3-2\cos x$.

8.

画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图, 并指出分别由函数 $y=\sin x，x\in \mathbf{R}$ 的图象经过怎样的变换得到:
(1) $y=\frac{1}{2}\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)$;
(2) $y=-2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$;
(3) $y=1-\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)$;
(4) $y=3\sin \left(\frac{\pi }{6}-\frac{x}{3}\right)$.

9.

(1) 用描点法画出函数 $y=\sin x,x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 的图象.
(2) 如何根据第 (1) 小题并运用正弦函数的性质, 得到函数 $y=\sin x,x\in [0,2\pi ]$ 的图象?
(3) 如何根据第 (2) 小题并通过平行移动坐标轴, 得到函数 $y=\sin (x+\phi )+k,x\in [0,2\pi ]$ $(\phi ,k$ 都是常数) 的图象?

10.

不通过画图, 写出下列函数的振幅、周期、初相, 并说明如何由正弦曲线得到它们的图像:
(1) $y=\sin \left(5x+\frac{\pi }{6}\right)$;
(2) $y=2\sin \frac{1}{6}x$.

11.

(1) 已知 $\alpha ,\beta$ 都是锐角, $\sin \alpha =\frac{4}{5},\cos (\alpha +\beta )=\frac{5}{13}$, 求 $\sin \beta$ 的值;
(2) 已知 $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{3}{5},\sin \left(\frac{5\pi }{4}+\beta \right)=-\frac{12}{13},\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right),\beta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$, 求 $\sin (\alpha +\beta )$的值;
(3) 已知 $\alpha ,\beta$ 都是锐角, $\tan \alpha =\frac{1}{7},\sin \beta =\frac{\sqrt{10}}{10}$, 求 $\tan (\alpha +2\beta )$ 的值.

12.

(1) 证明 $\tan \alpha +\tan \beta =\tan (\alpha +\beta )-\tan \alpha \tan \beta \tan (\alpha +\beta )$;
(2) 求 $\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }$ 的值;
(3) 若 $\alpha +\beta =\frac{3\pi }{4}$, 求 $(1-\tan \alpha )(1-\tan \beta )$ 的值;
(4) 求 $\frac{\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\tan 120^{\circ }}{\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }}$ 的值.

13.

化简:
(1) $\frac{1}{\sin 10^{\circ }}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ }}$;
(2) $\sin 40^{\circ }\left(\tan 10^{\circ }-\sqrt{3}\right)$;
(3) $\tan 70^{\circ }\cos 10^{\circ }\left(\sqrt{3}\tan 20^{\circ }-1\right)$;
(4) $\sin 50^{\circ }\left(1+\sqrt{3}\tan 10^{\circ }\right)$.

14.

(1) 已知 $\cos \theta =-\frac{3}{5},\pi <\theta <\frac{3\pi }{2}$, 求 ${\left(\sin \frac{\theta }{2}-\cos \frac{\theta }{2}\right)}^2$ 的值;
(2) 已知 $\sin \frac{\alpha }{2}-\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{5}$, 求 $\sin \alpha$ 的值;
(3) 已知 ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =\frac{5}{9}$, 求 $\sin 2\theta$ 的值;
(4) 已知 $\cos 2\theta =\frac{3}{5}$, 求 ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta$ 的值.

15.

(1) 已知 $\cos (\alpha +\beta )=\frac{1}{5},\cos (\alpha -\beta )=\frac{3}{5}$, 求 $\tan \alpha \tan \beta$ 的值;
(2) 已知 $\cos \alpha +\cos \beta =\frac{1}{2},\sin \alpha +\sin \beta =\frac{1}{3}$, 求 $\cos (\alpha -\beta )$ 的值.

16.

证明:
(1) $\cos 4\alpha +4\cos 2\alpha +3=8{\cos }^4\alpha$;
(2) $\frac{1+\sin 2\alpha }{2{\cos }^2\alpha +\sin 2\alpha }=\frac{1}{2}\tan \alpha +\frac{1}{2}$;
(3) $\frac{\sin (2\alpha +\beta )}{\sin \alpha }-2\cos (\alpha +\beta )=\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }$;
(4) $\frac{3-4\cos 2A+\cos 4A}{3+4\cos 2A+\cos 4A}={\tan }^{4}A$.

17.

已知 $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{1}{5},0⩽\alpha ⩽\pi$, 求 $\sin \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right)$ 的值.

18.

已知 $\cos \left(\frac{\pi }{4}+x\right)=\frac{3}{5},\frac{17\pi }{12}<x<\frac{7\pi }{4}$, 求 $\frac{\sin 2x+2{\sin }^{2}x}{1-\tan x}$ 的值.

19.

已知 $\sin \theta +\cos \theta =2\sin \alpha ,\sin \theta \cos \theta ={\sin }^2\beta$, 求证 $4{\cos }^{2}2\alpha ={\cos }^{2}2\beta$.

20.

已知函数 $f(x)={\cos }^{4}x-2\sin x\cos x-{\sin }^{4}x$,
(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期;
(2) 当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时, 求 $f(x)$ 的最小值以及取得最小值时 $x$ 的集合.

21.

已知函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)+\cos x+a$ 的最大值为 1 ,
(1) 求常数 $a$ 的值;
(2) 求函数 $f(x)$ 的单调递减区间;
(3) 求使 $f(x)⩾0$ 成立的 $x$ 的取值集合.

22.

已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin 2x+2{\cos }^{2}x+m$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值为 6 ,
(1) 求常数 $m$ 的值;
(2) 当 $x\in \mathbf{R}$ 时, 求函数 $f(x)$ 的最小值, 以及相应 $x$ 的集合.

23.

如图, 正方形 $ABCD$ 的边长为 $1,P,Q$ 分别为边 $AB,DA$ 上的点.当 $△APQ$ 的周长为 2 时, 求 $\angle PCQ$ 的大小.

24.

已知 $\sin \beta +\cos \beta =\frac{1}{5},\beta \in (0,\pi )$,
(1) 求 $\tan \beta$ 的值;
(2) 你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗?

25.

如图, 已知直线 $l_1//l_2,A$ 是 $l_1,l_2$ 之间的一定点, 并且点 $A$ 到 $l_1,l_2$ 的距离分别为 $h_1,h_2$. $B$ 是直线 $l_2$ 上一动点, 作 $AC\perp AB$, 且使 $AC$ 与直线 $l_1$ 交于点 $C$. 设 $\angle ABD=\alpha$.

(1) 写出 $△ABC$ 的面积 $S$ 关于角 $\alpha$ 的函数解析式 $S(\alpha )$;
(2) 画出上述函数的图象;
(3) 由 (2) 中的图象求 $S(\alpha )$ 的最小值.

26.

英国数学家泰勒给出如下公式:
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots ,$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$,
其中 $n!=1\times 2\times 3\times 4\times \cdots \times n$.
这些公式被编人计算工具, 计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性. 比如, 用前三项计算 $\cos 0.3$, 就得到 $\cos 0.3\approx 1-\frac{0.3^2}{2!}+\frac{0.3^4}{4!}=0.9553375$.

试用你的计算工具计算 $\cos 0.3$, 并与上述结果比较.

27.

在地球公转过程中, 太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.
(1) 如图, 设地球表面某地正午太阳高度角为 $\theta ,\delta$ 为此时太阳直射点的纬度, $\phi$ 为当地的纬度值, 那么这三个量满足 $\theta =90^{\circ }-|\phi -\delta |$.

某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间, 统计了连续 400 天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值, 太阳直射南半球时取负值). 下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第 45 天测得的当地太阳高度角数据:

请根据数据完成上面的表格（计算结果精确到 0.0001 );
(2) 设第 $x$ 天时太阳直射点的纬度平均值为 $y$. 该科技小组通过对数据的整理和分析, 推断 $y$ 与 $x$ 近似满足函数 $y=A\sin wx$, 其中 $A$ 为北回归线的纬度值, 约为 23.4392911 , 试利用 (1) 中的数据, 估计 $w$ 的值（精确到 $10^{-8}$ );
(3) 定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年, 求一个回归年对应的天数（精确到 0.0001$)$;
(4) 利用 (3) 的结果, 估计每 400 年中, 应设定多少个闰年, 可使这 400 年与 400 个回归年所含的天数最为接近（精确到 1 ）.