8.1 基本立体图形

2024-06-29 22:21:37 新建

在我们周围存在着各种各样的物体, 它们都占据着空间的一部分. 如果只考虑这些物体的形状和大小, 而不考虑其他因素, 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 本节我们主要从几何体的组成元素及其相互关系的角度, 认识几种最基本的空间几何体.

观察

如图 8.1-1, 这些图片中的物体具有怎样的形状? 在日常生活中, 我们把这些物体的形状叫做什么? 如何描述它们的形状?

观察一个物体, 将它抽象成空间几何体, 并描述它的结构特征, 应先从整体入手, 想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识.

在图 8.1-1 中, 可以发现纸箱、金字塔、茶叶盒、金刚石、储物箱等物体有相同的特点: 围成它们的每个面都是平面图形, 并且都是平面多边形; 纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.

定义

一般地, 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 (polyhedron)（图 8.1-2）. 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面, 如面 $A BE$ , 面 $B A F$ ; 两个面的公共边叫做多面体的棱, 如棱 $A E$ , 棱 $EC$ ; 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点, 如顶点 $E$ , 顶点 $C$ .

在空间几何体中说某个面是多边形, 一般也包括这个多边形内部的平面部分.

例子

图 8.1-1 中的纸箱、金字塔、茶叶盒、储物箱等物体都具有多面体的形状.

定义

一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面, 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 (solid of rotation). 这条定直线叫做旋转体的轴. 图 8.1-3 中的旋转体就是由平面曲线 $O A A^{'} O^{'}$ 绕轴 $O O^{'}$ 旋转形成的.

例子

图 8.1-1 中的纸杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状.

下面, 我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手, 进一步认识一些特殊的多面体和旋转体.

1. 棱柱

观察

观察图 8.1-4 中的长方体, 它的每个面是什么样的多边形? 不同的面之间有什么位置关系?

可以发现, 长方体的每个面都是平行四边形 (矩形), 并且相对的两个面, 如面 $A BC D$ 和面 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , 给我们以平行的形象, 如同教室的地面和天花板一样.

定义

如图 8.1-5, 一般地, 有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的多面体叫做棱柱 (prism). 图 8.1-1 中的茶叶盒所表示的多面体就是棱柱. 在棱柱中, 两个互相平行的面叫做棱柱的底面, 它们是全等的多边形; 其余各面叫做棱柱的侧面, 它们都是平行四边形; 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱; 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.

棱柱用表示底面各顶点的字母来表示, 如图 8.1-5 中的棱柱记作棱柱 $A BC D EF -$ $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}$ . 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形 $\dots$ , 我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱 $\dots$ .

在图 8.1-4 中的长方体中, 侧棱和底面给我们以垂直的形象, 如同教室里相邻墙面的交线和地面的关系一样. 一般地, 我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱（图 8.1-6(1) (3)), 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱 (图 8.1-6(2)(4)). 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 (图 8.1-6(3)). 底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体 (图 8.1-6(4)).

2. 棱锥

像图 8.1-1 中金字塔这样的多面体, 均由平面图形围成, 其中一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 并且这些三角形有一个公共顶点.

定义

如图 8.1-7, 一般地, 有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥 (pyramid). 这个多边形面叫做棱锥的底面; 有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面; 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱; 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.

棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示, 如图 8.1-7 中的棱锥记作棱锥 $S - A BC D$ . 棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形 $\dots$ ，我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 $\dots$ ，其中三棱锥又叫四面体. 底面是正多边形, 并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.

3. 棱台

定义

如图 8.1-8, 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台（frustum of a pyramid). 图 8.1-1 中的储物箱就给我们以棱台的形象.在棱台中, 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面. 类似于棱柱、棱锥, 棱台也有侧面、侧棱、顶点.

思考

请你仿照棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台侧面、侧棱、顶点的定义, 并在图 8.1-8 中标出它们.

棱台用表示底面各顶点的字母来表示, 如图 8.1-8 中的棱台记作棱台 $A BC D -$ $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . 由三棱锥、四棱锥、五棱锥 $\dots$ 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台 $\dots$

例 1

将下列各类几何体之间的关系用 Venn 图表示出来:
多面体, 长方体, 棱柱, 棱锥, 棱台, 直棱柱, 四面体, 平行六面体.

解:

如图 8.1-9 所示.

练习

观察图中的物体, 说出它们的主要结构特征.

判断下列命题是否正确, 正确的在括号内画 “ ”, 错误的画 “ $\times$ ”.
(1) 长方体是四棱柱, 直四棱柱是长方体. $()$
(2) 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体. $()$

填空题
(1) 一个几何体由 7 个面围成, 其中两个面是互相平行且全等的五边形, 其他各面都是全等的矩形,则这个几何体是
(2) 一个多面体最少有个面, 此时这个多面体是 .

设计一个平面图形, 使它能折成一个直三棱柱.

4. 圆柱

定义

如图 8.1-10, 以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 (circular cylinder). 旋转轴叫做圆柱的轴; 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面; 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面; 无论旋转到什么位置, 平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.

圆柱用表示它的轴的字母表示, 如图 8.1-10 中的圆柱记作圆柱 $O^{'} O$ .

例子

在生活中, 许多物体和容器都是圆柱形的, 如图 8.1-1 中的奶粉罐.

5. 圆锥

定义

与圆柱一样, 圆锥也可以看作由平面图形旋转而成的. 如图 8.1-11, 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 (circular cone).

例子

图 8.1-1 中的铅锤就是圆锥形物体.

圆锥也有轴、底面、侧面和母线.

思考

请你仿照圆柱中轴、底面、侧面、母线的定义，给出圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义, 并在图 8.1-11 中标出它们.

圆锥也用表示它的轴的字母表示, 如图 8.1-11 中的圆锥记作圆锥 $SO$ .

6. 圆台

定义

如图 8.1-12, 与棱台类似, 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分叫做圆台 (circular truncated cone).

例子

图 8.1-1 中的纸杯就是具有圆台结构特征的物体.

与圆柱和圆锥一样, 圆台也有轴、底面、侧面、母线

思考

（请你在图 8.1-12 中标出它们).

圆台也用表示它的轴的字母表示, 如图 8.1-12 中的圆台记作圆台 $O^{'} O$ .

探究

圆柱可以由矩形旋转得到, 圆锥可以由直角三角形旋转得到. 圆台是否也可以由平面图形旋转得到? 如果可以, 由什么平面图形旋转得到? 如何旋转?

7. 球

定义

如图 8.1-13, 半圆以它的直径所在直线为旋转轴, 旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体 (spheroid), 简称球. 半圆的圆心叫做球的球心; 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径; 连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径. 球常用表示球心的字母来表示, 如图 8.1-13 中的球记作球 $O$ .

棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体. 其中棱柱与圆柱统称为柱体, 棱锥与圆锥统称为锥体, 棱台与圆台统称为台体.

探究

棱柱、棱锥与棱台都是多面体, 它们在结构上有哪些相同点和不同点? 当底面发生变化时, 它们能否互相转化? 圆柱、圆锥与圆台呢?

8. 简单组合体

定义

现实世界中的物体表示的几何体, 除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外, 还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的, 这些几何体称作简单组合体.

简单组合体的构成有两种基本形式: 一种是由简单几何体拼接而成，如图 8.1-14 (1) (2) 中物体表示的几何体;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成, 如图 8.1-14 (3) (4) 中的几何体. 现实世界中的物体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成.

思考

请你说一说图 8.1-14 中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的.

例 2

如图 8.1-15 (1), 以直角梯形 $A BC D$ 的下底 $A B$ 所在直线为轴, 其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体. 说出这个几何体的结构特征.

解:

几何体如图 8.1-15 (2) 所示, 其中 $D E ⊥ A B$ , 垂足为 $E$ .

这个几何体是由圆柱 $BE$ 和圆锥 $A E$ 组合而成的. 其中圆柱 $BE$ 的底面分别是 $⊙ B$ 和 $⊙ E$ , 侧面是由梯形的上底 $C D$ 绕轴 $A B$ 旋转形成的; 圆锥 $A E$ 的底面是 $⊙ E$ , 侧面是由梯形的边 $A D$ 绕轴 $A B$ 旋转而成的.

练习

观察图中的物体, 说出它们的主要结构特征.

说出图中物体的主要结构特征.

如图, 以三角形 $A BC$ 的一边 $A B$ 所在直线为轴, 其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体. 说出这个几何体的结构特征.

观察我们周围的物体, 说出这些物体所表示的几何体的主要结构特征.

习题 8.1

复习巩固

如图, 在长方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 指出经过顶点 $D$ 的棱和面.

如图, 下列几何体中为棱柱的是 (填写序号).

如图, 汽车内胎可以由下面某个图形绕轴旋转而成, 这个图形是（）.

如图, 判断下列几何体是不是台体, 并说明为什么.

如图, 说出图中两个几何体的结构特征.

综合运用

判断下列命题是否正确, 正确的在括号内画 “ ”, 错误的画 “ $\times$ ”.
(1) 一个棱柱至少有 5 个面. $()$
(2) 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. $()$
(3) 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. $()$
(4) 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. $()$

如图, 右边长方体中由左边的平面图形围成的是 $()$ .

如图, 长方体 $A BC D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 被一个平面截成两个几何体, 其中 $E H // B^{'} C^{'} // FG$ . 请说出这两个几何体的名称.

如图, 以平行四边形 $A BC D$ 的一边 $A B$ 所在直线为轴, 其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体. 画出这个几何体的图形, 并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.

拓广探索

10.

下列命题是否正确? 若正确, 请说明理由; 若错误, 请举出反例.
(1) 有两个面平行, 其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱;
(2) 有两个面平行且相似, 其他各个面都是梯形的多面体是棱台.