4.4 对数函数

2024-02-18 22:09:54 新建

在 4.2 节中, 我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题. 对这样的问题, 在引入对数后, 我们还可以从另外的角度, 对其蕴含的规律作进一步的研究.

4.4.1 对数函数的概念

思考

在 4.2.1 的问题 2 中, 我们已经研究了死亡生物体内碳 14 的含量 $y$ 随死亡时间 $x$ 的变化而衰减的规律. 反过来, 已知死亡生物体内碳 14 的含量, 如何得知它死亡了多长时间呢? 进一步地, 死亡时间 $x$ 是碳 14 的含量 $y$ 的函数吗?

解

根据指数与对数的关系, 由 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5 7 3 0}} (x ⩾ 0)$ 得到 $x = lo g_{5730 \frac{1}{2}} y (0 < y ⩽ 1)$ . 如图 4.4-1, 过 $y$ 轴正半轴上任意一点 $(0, y_{0}) (0 < y_{0} ⩽ 1)$ 作 $x$ 轴的平行线, 与 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5 7 3 0}} (x ⩾ 0)$ 的图象有且只有一个交点 $(x_{0}, y_{0})$ .

这就说明, 对于任意一个 $y \in (0, 1]$ , 通过对应关系 $x = lo g_{5730 \frac{1}{2}} y$ , 在 $[0, + \infty)$ 上都有唯一确定的数 $x$ 和它对应, 所以 $x$ 也是 $y$ 的函数. 也就是说, 函数 $x = lo g_{5730 \frac{1}{2}} y, y \in$ $(0, 1]$ 刻画了时间 $x$ 随碳 14 含量 $y$ 的衰减而变化的规律.

定义对数函数

同样地, 根据指数与对数的关系, 由 $y = a^{x} (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 可以得到 $x = lo g_{a} y$ $(a > 0$ , 且 $a \neq = 1), x$ 也是 $y$ 的函数. 通常, 我们用 $x$ 表示自变量, $y$ 表示函数. 为此, 将 $x = lo g_{a} y (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 中的字母 $x$ 和 $y$ 对调, 写成 $y = lo g_{a} x (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ .

一般地, 函数 $y = lo g_{a} x (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 叫做对数函数 (logarithmic function), 其中 $x$ 是自变量, 定义域是 $(0, + \infty)$ .

例 1

求下列函数的定义域:
(1) $y = lo g_{3} x^{2}$ ;
(2) $y = lo g_{a} (4 - x) (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ .

解:

(1) 因为 $x^{2} > 0$ , 即 $x \neq = 0$ , 所以函数 $y = lo g_{3} x^{2}$ 的定义域是

${x ∣ x \neq = 0} .$

(2) 因为 $4 - x > 0$ , 即 $x < 4$ , 所以函数 $y = lo g_{a} (4 - x)$ 的定义域是

${x ∣ x < 4} .$

例 2

假设某地初始物价为 1 , 每年以 $5 %$ 的增长率递增, 经过 $t$ 年后的物价为 $w$ .
(1) 该地的物价经过几年后会翻一番?
(2) 填写下表, 并根据表中的数据, 说明该地物价的变化规律.

解：

(1) 由题意可知, 经过 $t$ 年后物价 $w$ 为

$w = (1 + 5 %)^{t}, 即 w = 1.0 5^{t} (t \in [0, + \infty)) .$

由对数与指数间的关系, 可得

$t = lo g_{1.05} w, w \in [1, + \infty) .$

由计算工具可得, 当 $w = 2$ 时, $t \approx 14$ .
所以，该地区的物价大约经过 14 年后会翻一番.
(2) 根据函数 $t = lo g_{1.05} w, w \in [1, + \infty)$ , 利用计算工具, 可得下表:

由表中的数据可以发现, 该地区的物价随时间的增长而增长, 但大约每增加 1 所需要的年数在逐渐缩小.

练习

求下列函数的定义域:
(1) $y = ln (1 - x)$ ;
(2) $y = \frac{1}{l g x}$ ;
(3) $y = lo g_{7} \frac{1}{1 - 3 x}$ ;
(4) $y = lo g_{a} ∣ x ∣ (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ .

画出下列函数的图象:
(1) $y = l g 1 0^{x}$ ;
(2) $y = 1 0^{l g x}$ .

已知集合 $A = {1, 2, 3, 4, \dots}$ , 集合 $B = {2, 4, 6, 8, 10, \dots}$ , 下列表达式能建立从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数关系的是 _ _ _
(1) $y = 2^{x}$ ;
(2) $y = x^{2}$ ;
(3) $y = lo g_{2} x$ ；
(4) $y = 2 x$ .

4.4.2 对数函数的图象和性质

与研究指数函数一样, 我们首先画出其图象, 然后借助图象研究其性质.

例子

不妨先画函数 $y = lo g_{2} x$ 的图象.
请同学们完成 $x, y$ 的对应值表 4.4-1, 并用描点法画出函数 $y = lo g_{2} x$ 的图象 (图 4.4-2).

思考

我们知道, 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 $y$ 轴对称. 对于底数互为倒数的两个对数函数, 比如 $y = lo g_{2} x$ 和 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ , 它们的图象是否也有某种对称关系呢? 可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象?

解

利用换底公式, 可以得到 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x = - lo g_{2} x$ . 因为点 $(x, y)$ 与点 $(x, - y)$ 关于 $x$ 轴对称, 所以 $y = lo g_{2} x$ 图象上任意一点 $P (x, y)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $P_{1} (x, - y)$ 都在 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的图象上, 反之亦然. 由此可知, 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 $x$ 轴对称. 根据这种对称性, 就可以利用 $y = lo g_{2} x$ 的图象画出 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的图象 (图 4.4-3).

为了得到对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 的性质, 我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察.

探究

选取底数 $a (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 的若干个不同的值, 在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象. 观察这些图象的位置、公共点和变化趋势, 它们有哪些共性? 由此你能概括出对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 的值域和性质吗?

解

如图 4.4-4, 选取底数 $a$ 的若干值, 用计算工具画图, 发现对数函数 $y = lo g_{a} x$ 的图象按底数 $a$ 的取值, 可分为 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种类型. 因此, 对数函数的性质也可以分 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种情况进行研究.

对数函数的图象和性质

一般地, 对数函数的图象和性质如表 4.4-2 所示.

例 3

比较下列各题中两个值的大小:
(1) $lo g_{2} 3.4, lo g_{2} 8.5$ ;
(2) $lo g_{0.3} 1.8, lo g_{0.3} 2.7$ ;
(3) $lo g_{a} 5.1, lo g_{a} 5.9 (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ .

解:

(1) $lo g_{2} 3.4$ 和 $lo g_{2} 8.5$ 可看作函数 $y = lo g_{2} x$ 的两个函数值. 因为底数 $2 > 1$ , 对数函数 $y = lo g_{2} x$ 是增函数, 且 $3.4 < 8.5$ , 所以

$lo g_{2} 3.4 < lo g_{2} 8.5 .$

(2) $lo g_{0.3} 1.8$ 和 $lo g_{0.3} 2.7$ 可看作函数 $y = lo g_{0.3} x$ 的两个函数值. 因为底数 $0.3 < 1$ ,对数函数 $y = lo g_{0.3} x$ 是减函数, 且 $1.8 < 2.7$ , 所以

$lo g_{0.3} 1.8 > lo g_{0.3} 2.7 .$

(3) $lo g_{a} 5.1$ 和 $lo g_{a} 5.9$ 可看作函数 $y = lo g_{a} x$ 的两个函数值. 对数函数的单调性取决于底数 $a$ 是大于 1 还是小于 1 , 因此需要对底数 $a$ 进行讨论.
当 $a > 1$ 时, 因为函数 $y = lo g_{a} x$ 是增函数, 且 $5.1 < 5.9$ , 所以

$lo g_{a} 5.1 < lo g_{a} 5.9;$

当 $0 < a < 1$ 时, 因为函数 $y = lo g_{a} x$ 是减函数, 且 $5.1 < 5.9$ , 所以

$lo g_{a} 5.1 > lo g_{a} 5.9 .$

例 4

溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过 $p H$ 计量的. $p H$ 的计算公式为 $p H = - l g [H^{+}]$ , 其中 $[H^{+}]$ 表示溶液中氢离子的浓度, 单位是摩尔/升.
(1) 根据对数函数性质及上述 $p H$ 的计算公式, 说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2) 已知纯净水中氢离子的浓度为 $[H^{+}] = 1 0^{- 7}$ 摩尔/升, 计算纯净水的 $p H$ .

解：

(1) 根据对数的运算性质, 有

$p H = - l g [H^{+}] = l g [H^{+}]^{- 1} = l g \frac{1}{[ H ^{+} ]} .$

在 $(0, + \infty)$ 上, 随着 $[H^{+}]$ 的增大, $\frac{1}{[ H ^{+} ]}$ 减小,相应地, $l g \frac{1}{[ H ^{+} ]}$ 也减小, 即 $p H$ 减小. 所以, 随着 $[H^{+}]$ 的增大, $p H$ 减小, 即溶液中氢离子的浓度越大, 溶液的酸性就越强.

(2) 当 $[H^{+}] = 1 0^{- 7}$ 时, $p H = - l g 1 0^{- 7} = 7$ . 所以, 纯净水的 $p H$ 是 7 .

思考

胃酸中氢离子的浓度是 $2.5 \times 1 0^{- 2}$ 摩尔/升, 胃酸的 $p H$ 是多少?

定义反函数

前面根据指数与对数间的关系, 由 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5 7 3 0}} (x ⩾ 0)$ 得 $x = lo g_{5730 \frac{1}{2}} y (0 < y ⩽ 1)$ . 由函数定义可知 $x = lo g_{5730 \frac{1}{2}} y, y \in (0, 1]$ 是一个函数. 这样, 由指数函数 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5 7 3 0}}$ , $x \in [0, + \infty)$ 可得到对数函数 $x = lo g_{5730 \frac{1}{2}} y, y \in (0, 1]$ , 这个对数函数的定义域 $(0, 1]$ 、值域 $[0, + \infty)$ 分别是指数函数 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5 7 3 0}}, x \in [0, + \infty)$ 的值域和定义域. 这时就说函数 $x = lo g_{5730 \frac{1}{2}} y, y \in (0, 1]$ 是函数 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5 7 3 0}}, x \in [0, + \infty)$ 的反函数 (inverse function).

例子

通常, 我们用 $x$ 表示自变量, $y$ 表示函数. 为此, 把 $x = lo g_{5730 \frac{1}{2}} y$ 写成 $y = lo g_{5730 \frac{1}{2}} x$ , 这样, 对数函数 $y = lo g_{5730 \frac{1}{2}} x, x \in (0, 1]$ 是指数函数 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5 7 3 0}}, x \in [0, + \infty)$ 的反函数. 同时, 指数函数 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5 7 3 0}}, x \in [0, + \infty)$ 也是对数函数 $y = lo g_{5730 \frac{1}{2}} x, x \in (0, 1]$ 的反函数. 因此, 指数函数 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5 7 3 0}}, x \in [0, + \infty)$ 与对数函数 $y = lo g_{5730 \frac{1}{2}} x, x \in (0, 1]$ 互为反函数, 它们的定义域与值域正好互换.

探究

对于指数函数 $y = 2^{x}$ , 你能利用指数与对数间的关系, 得到与之对应的对数函数吗? 它们的定义域、值域之间有什么关系? 它们也互为反函数吗?

解

一般地, 指数函数 $y = a^{x} (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 与对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 互为反函数, 它们的定义域与值域正好互换.

练习

在同一直角坐标系中画出函数 $y = lo g_{3} x$ 和 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的图象, 并说明它们的关系.

比较下列各题中两个值的大小:
(1) $l g 0.6, l g 0.8$ ;
(2) $lo g_{0.5} 6, lo g_{0.5} 4$ ;
(3) $lo g_{m} 5, lo g_{m} 7$ .

某地去年的 GDP (国内生产总值) 为 3000 亿元人民币, 预计未来 5 年的平均增长率为 $6.8 %$ .
(1) 设经过 $x$ 年达到的年 GDP 为 $y$ 亿元, 试写出未来 5 年内, $y$ 关于 $x$ 的函数解析式;
(2) 经过几年该地 GDP 能达到 3900 亿元人民币?

探究与发现

互为反函数的两个函数图象间的关系

我们知道, 指数函数 $y = a^{x} (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 与对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 互为反函数. 它们的图象是否有关系? 有什么关系呢? 下面, 请你运用所学的数学知识和计算工具, 探索几个问题, 亲自发现其中的奥秘吧!

在同一直角坐标系中, 画出指数函数 $y = 2^{x}$ 及其反函数 $y = lo g_{2} x$ 的图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗?
取 $y = 2^{x}$ 图象上的几个点, 如 $P_{1} (- 1, \frac{1}{2}), P_{2} (0, 1), P_{3} (1, 2) . P_{1}$ , $P_{2}, P_{3}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点的坐标是什么? 它们在 $y = lo g_{2} x$ 的图象上吗?为什么?
如果点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在函数 $y = 2^{x}$ 的图象上, 那么 $P_{0}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点在函数 $y = lo g_{2} x$ 的图象上吗? 为什么?
根据上述探究过程, 你可以得到什么结论?
上述结论对于指数函数 $y = a^{x} (a > 0$ , 且 $a \neq = 1)$ 及其反函数 $y = lo g_{a} x (a > 0$ ,且 $a \neq = 1$ ) 也成立吗? 为什么?

4.4.3 不同函数增长的差异

在前面的学习中我们看到, 一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异. 事实上,这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 因此, 如果把握了不同函数增长方式的差异, 那么就可以根据现实问题的增长情况, 选择合适的函数模型刻画其变化规律. 下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.

探究

选取适当的指数函数与一次函数, 探索它们在区间 $[0, + \infty)$ 上的增长差异, 你能描述一下指数函数增长的特点吗?

解

不妨以函数 $y = 2^{x}$ 和 $y = 2 x$ 为例.
利用信息技术, 列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表 (表 4.4-3), 并在同一直角坐标系中画出它们的图象 (图 4.4-5). 可以看到, 函数 $y = 2^{x}$ 和 $y = 2 x$ 的图象有两个交点 $(1, 2), (2, 4)$ . 在区间 $[0, 1)$ 上, 函数 $y = 2^{x}$ 的图象位于 $y = 2 x$ 的图象之上, $2^{x} > 2 x$ ; 在区间 $(1, 2)$ 上, 函数 $y = 2^{x}$ 的图象位于 $y = 2 x$ 的图象之下, $2^{x} < 2 x$ ; 在区间 $(2, 3)$ 上, 函数 $y = 2^{x}$ 的图象位于 $y = 2 x$ 的图象之上, $2^{x} > 2 x$ . 这表明, 虽然这两个函数在 $[0, + \infty)$ 上都单调递增, 但它们的增长速度不同, 函数 $y = 2 x$ 的增长速度保持不变, 而函数 $y = 2^{x}$ 的增长速度在变化.

下面在更大的范围内, 观察 $y = 2^{x}$ 和 $y = 2 x$ 的增长情况.
从表 4.4-4 和图 4.4-6 可以看到, 当自变量 $x$ 越来越大时, $y = 2^{x}$ 的图象就像与 $x$ 轴垂直一样, $2^{x}$ 的值快速增长; 而函数 $y = 2 x$ 的增长速度依然保持不变, 与函数 $y = 2^{x}$ 的增长速度相比几乎微不足道.

综上所述, 虽然函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = 2 x$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上都单调递增, 但它们的增长速度不同, 而且不在同一个 “档次”上. 随着 $x$ 的增大, $y = 2^{x}$ 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 $y = 2 x$ 的增长速度. 尽管在 $x$ 的一定变化范围内, $2^{x}$ 会小于 $2 x$ , 但由于 $y = 2^{x}$ 的增长最终会快于 $y = 2 x$ 的增长, 因此, 总会存在一个 $x_{0}$ , 当 $x > x_{0}$ 时, 恒有 $2^{x} > 2 x$ .

指数函数的爆炸性增长

一般地, 指数函数 $y = a^{x} (a > 1)$ 与一次函数 $y = k x$ $(k > 0)$ 的增长差异都与上述情况类似. 即使 $k$ 的值远远大于 $a$ 的值, $y = a^{x} (a > 1)$ 的增长速度最终都会大大超过 $y = k x$ $(k > 0)$ 的增长速度.

指数函数不像一次函数那样按同一速度增长,而是越来趟快, 呈爆炸性增长.

探究

选取适当的对数函数与一次函数, 探索它们在区间 $(0, + \infty)$ 上的增长差异, 你能描述一下对数函数增长的特点吗?

解

不妨以函数 $y = l g x$ 和 $y = \frac{1}{1 0} x$ 为例.
利用信息技术, 列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表 (表 4.4-5), 并在同一直角坐标系中画出它们的图象 (图 4.4-7). 可以看到, 虽然它们在 $(0, + \infty)$ 上都单调递增, 但增长速度存在着明显的差异. 函数 $y = \frac{1}{1 0} x$ 的增长速度保持不变, 而 $y = l g x$ 的增长速度在变化. 随着 $x$ 的增大, 函数 $y = \frac{1}{1 0} x$ 的图象离 $x$ 轴越来越远, 而函数 $y = l g x$ 的图象越来越平缓, 就像与 $x$ 轴平行一样. 例如 $l g 10 = 1, l g 100 = 2, l g 1000 = 3, l g 10000 = 4$ ; 而 $\frac{1}{1 0} \times 10 = 1, \frac{1}{1 0} \times 100 = 10, \frac{1}{1 0} \times 1000 = 100, \frac{1}{1 0} \times 10000 = 1000$ . 这说明，当 $x > 10$ , 即 $y = l g x > 1$ 时, $y = l g x$ 与 $y = \frac{1}{1 0} x$ 相比增长得就很慢了.

思考

如果将 $l g x$ 放大 1000 倍, 再对函数 $y = 1000 l g x$ 和 $y = \frac{1}{1 0} x$ 的增长情况进行比较, 那么仍有上述规律吗?

对数函数的平缓增长

一般地, 虽然对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 1)$ 与一次函数 $y =$ $k x (k > 0)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上都单调递增, 但它们的增长速度不同. 随着 $x$ 的增大, 一次函数 $y = k x (k > 0)$ 保持固定的增长速度, 而对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 1)$ 的增长速度越来越慢. 即使 $k$ 的值很小, 在一定范围内, $lo g_{a} x$ 可能会大于 $k x$ , 但由于 $lo g_{a} x$ 的增长最终会慢于 $k x$ 的增长, 因此总会存在一个 $x_{0}$ , 当 $x > x_{0}$ 时, 恒有 $lo g_{a} x < k x$ .

对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.

探究

类比上述过程，
(1) 画出一次函数 $y = 2 x$ , 对数函数 $y = l g x$ 和指数函数 $y = 2^{x}$ 的图象, 并比较它们的增长差异;
(2) 试着概括一次函数 $y = k x (k > 0)$ , 对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 1)$ 和指数函数 $y = b^{x} (b > 1)$ 的增长差异;
(3) 讨论交流 “直线上升” “对数增长” “指数爆炸” 的含义.

练习

三个变量 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 随变量 $x$ 变化的数据如下表:

其中关于 $x$ 呈指数增长的变量是 _ _ _ .

(1) (2) (3) 分别是函数 $y = 3^{x}$ 和 $y = 5 x$ 在不同范围的图象, 借助计算工具估算出使 $3^{x} > 5 x$ 的 $x$ 的取值范围（精确到 0.01 ).

如图, 对数函数 $y = l g x$ 的图象与一次函数 $y = f (x)$ 的图象有 $A, B$ 两个公共点. 求一次函数 $y = f (x)$ 的解析式.

函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示, 则 $y = f (x)$ 可能是 ( ).
(A) $y = 1 - x^{- 1}, x \in (0, + \infty)$
(B) $y = \frac{3}{2} - (\frac{1}{2})^{x}, x \in (0, + \infty)$
© $y = ln x$
(D) $y = x - 1, x \in (0, + \infty)$

习题 4.4

复习巩固

求下列函数的定义域:
(1) $y = 3 lo g_{2} x$ ;
(2) $y = lo g_{0.5} (4 x - 3)$ .

比较满足下列条件的两个正数 $m, n$ 的大小:
(1) $lo g_{3} m < lo g_{3} n$ ;
(2) $lo g_{0.3} m < lo g_{0.3} n$ ;
(3) $lo g_{a} m < lo g_{a} n (0 < a < 1)$ ;
(4) $lo g_{a} m > lo g_{a} n (a > 1)$ .

在不考虑空气阻力的条件下, 火箭的最大速度 $v$ (单位: $k m / s$ ) 和燃料的质量 $M$ (单位: $k g$ )、火箭 (除燃料外) 的质量 $m$ (单位: $k g$ ) 的函数关系是 $v = 2000 ln (1 + \frac{M}{m})$ . 当燃料质量是火箭质量的百分之几时, 火箭的最大速度可达到 $12 k m / s$ ?

函数 $y = lo g_{2} x, y = lo g_{5} x, y = l g x$ 的图象如图所示,
(1) 试说明哪个函数对应于哪个图象, 并解释为什么;
(2) 以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ , $y = lo g_{\frac{1}{5}} x, y = lo g_{\frac{1}{1 0}} x$ 的图象;
(3) 从（2）的图中你发现了什么?

大西洋鲑鱼每年都要逆流而上, 游回产地产卵. 研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ (单位: $m / s$ ) 可以表示为 $v = \frac{1}{2} lo g_{3} \frac{O}{1 0 0}$ , 其中 $O$ 表示鱼的耗氧量的单位数.
(1) 当一条鱼的耗氧量是 2700 个单位时, 它的游速是多少?
(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.

在 $2 h$ 内将某种药物注射进患者的血液中. 在注射期间, 血液中的药物含量呈线性增加; 停止注射后, 血液中的药物含量呈指数衰减. 能反映血液中药物含量 $Q$ 随时间 $t$ 变化的图象是 ( ).

综合运用

判断下列各对函数是否互为反函数. 若是, 则求出它们的定义域和值域:
(1) $y = ln x, y = e^{x}$ ;
(2) $y = - lo g_{a} x, y = (\frac{1}{a})^{x}$ .

设 $y = f (x)$ 表示摄氏温度为 $x$ 时, 华氏温度为 $y$ ,
(1) 如果函数 $y = f (x)$ 的反函数是 $y = g (x)$ , 那么 $y = g (x)$ 表示什么?
(2) 如果 $f (30) = 86$ , 那么求 $g (86)$ , 并说明其实际意义.

某地由于人们健康水平的不断提高, 某种疾病的患病率正以每年 $15 %$ 的比例降低. 要将当前的患病率降低一半, 需要多少年?

10.

声强级 $L_{I}$ (单位: dB) 由公式

$L_{I} = 10 l g (\frac{I}{1 0 ^{- 12}})$

给出, 其中 $I$ 为声强 (单位: $W / m^{2}$ ).
(1) 一般正常人听觉能忍受的最高声强为 $1 W / m^{2}$ , 能听到的最低声强为 $1 0^{- 12} W / m^{2}$ . 求人听觉的声强级范围.
(2) 平时常人交谈时的声强约为 $1 0^{- 6} W / m^{2}$ , 求其声强级.

11.

假设有一套住房的房价从 2002 年的 20 万元上涨到 2012 年的 40 万元. 下表给出了两种价格增长方式, 其中 $P_{1}$ 是按直线上升的房价, $P_{2}$ 是按指数增长的房价, $t$ 是 2002 年以来经过的年数.

(1) 求函数 $P_{1} = f (t)$ 的解析式;
(2) 求函数 $P_{2} = g (t)$ 的解析式;
(3) 完成上表空格中的数据, 并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象, 然后比较两种价格增长方式的差异.

拓广探索

12.

已知 $lo g_{a} \frac{1}{2} < 1, (\frac{1}{2})^{a} < 1, a^{\frac{1}{2}} < 1$ , 求实数 $a$ 的取值范围.

13.

比较下列各题中三个值的大小:
(1) $lo g_{0.2} 6, lo g_{0.3} 6, lo g_{0.4} 6$ ;
(2) $lo g_{2} 3, lo g_{3} 4, lo g_{4} 5$ .